Номер 937, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки. Глава 10. Векторы - номер 937, страница 229.

937 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: а) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и KМ; д) TL и KT?

Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой), сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по длине (имеют одинаковый модуль). Рассмотрим каждый случай для равнобедренной трапеции MNLK. Из условия, что S и T — середины боковых сторон MN и LK, следует, что основаниями трапеции являются стороны ML и NK (т.е. $ML \parallel NK$), а MN и LK — боковые стороны. Так как трапеция равнобедренная, то длины боковых сторон равны: $MN = LK$.

а) $\overrightarrow{NL}$ и $\overrightarrow{KL}$

Векторы $\overrightarrow{NL}$ и $\overrightarrow{KL}$ имеют общий конец в точке L. Вектор $\overrightarrow{NL}$ лежит на прямой NL, которая является диагональю трапеции. Вектор $\overrightarrow{KL}$ лежит на прямой KL, которая является боковой стороной трапеции. Прямые NL и KL не параллельны, так как пересекаются в точке L под углом, не равным $180^\circ$. Следовательно, векторы не являются коллинеарными, а значит, не могут быть равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

б) $\overrightarrow{MS}$ и $\overrightarrow{SN}$

По условию, точка S является серединой отрезка MN. Это означает, что точка S делит отрезок MN на два равных по длине отрезка, то есть $MS = SN$.
1. Длины векторов: Модуль вектора $\overrightarrow{MS}$ равен длине отрезка MS, а модуль вектора $\overrightarrow{SN}$ равен длине отрезка SN. Так как $MS = SN$, то $|\overrightarrow{MS}| = |\overrightarrow{SN}|$.
2. Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{MS}$ направлен от точки M к точке S. Вектор $\overrightarrow{SN}$ направлен от точки S к точке N. Поскольку точки M, S и N лежат на одной прямой в указанном порядке, направления векторов совпадают.
Так как векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны.

Ответ: Да, векторы равны.

в) $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KL}$

Стороны MN и LK являются боковыми сторонами трапеции.
1. Длины векторов: Поскольку трапеция MNLK равнобедренная, длины её боковых сторон равны: $MN = LK$. Модуль вектора $\overrightarrow{MN}$ равен $MN$, а модуль вектора $\overrightarrow{KL}$ равен $KL$. Так как $KL = LK$, то $|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{KL}|$.
2. Направление векторов: Векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KL}$ лежат на прямых MN и KL соответственно. По определению трапеции, её боковые стороны не параллельны. Следовательно, векторы не коллинеарны и не могут быть равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

г) $\overrightarrow{TS}$ и $\overrightarrow{KM}$

Отрезок ST, соединяющий середины боковых сторон MN и LK, является средней линией трапеции. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции, то есть $ST \parallel ML \parallel NK$. Вектор $\overrightarrow{TS}$ лежит на прямой ST.
Отрезок KM является диагональю трапеции. В общем случае (если трапеция не является параллелограммом), диагональ не параллельна основаниям. Таким образом, прямая KM не параллельна прямой ST.
Поскольку векторы $\overrightarrow{TS}$ и $\overrightarrow{KM}$ лежат на непараллельных прямых, они не коллинеарны и, следовательно, не равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

д) $\overrightarrow{TL}$ и $\overrightarrow{KT}$

По условию, точка T является серединой отрезка LK. Это означает, что точка T делит отрезок LK на два равных по длине отрезка: $LT = TK$.
1. Длины векторов: Модуль вектора $\overrightarrow{TL}$ равен длине отрезка TL, а модуль вектора $\overrightarrow{KT}$ равен длине отрезка KT. Так как $TL = LT$ и $KT=TK$, а $LT=TK$, то $|\overrightarrow{TL}| = |\overrightarrow{KT}|$.
2. Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{TL}$ направлен от точки T к точке L. Вектор $\overrightarrow{KT}$ направлен от точки K к точке T. Точки K, T, L лежат на одной прямой. Так как T — середина отрезка LK, порядок точек на прямой — K, T, L (или L, T, K). В обоих случаях движение от K к T и от T к L происходит в одном и том же направлении вдоль прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{KT}$ и $\overrightarrow{TL}$ сонаправлены.
Поскольку векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны.

Ответ: Да, векторы равны.