Номер 940, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки. Глава 10. Векторы - номер 940, страница 229.

940 Верно ли утверждение: а) если а = b, то а ↑↑ b; б) если а = b, то a и b коллинеарны; в) если а = b, то а ↑↓ b; г) если а ↑↑ b, то а = b; д) если а = 0, то a ↑↑ b?

а) По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, если они сонаправлены и их длины равны. Следовательно, если $\vec{a} = \vec{b}$, то они обязательно сонаправлены, то есть $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Утверждение верно. Ответ: Верно.

б) Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Любые сонаправленные векторы являются коллинеарными. Из пункта а) следует, что если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Значит, они также и коллинеарны. Утверждение верно. Ответ: Верно.

в) Равенство векторов $\vec{a} = \vec{b}$ означает, что они сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы направлены в противоположные стороны. Для ненулевых векторов эти два условия (сонаправленность и противоположная направленность) не могут выполняться одновременно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно.

г) Сонаправленность векторов ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) является лишь одним из двух условий для их равенства. Второе условие — равенство длин ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$). Если это второе условие не выполнено, векторы не будут равны. Например, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}=2\vec{a}$ (для $\vec{a} \neq \vec{0}$) сонаправлены, но не равны, так как их длины различны. Утверждение неверно. Ответ: Неверно.

д) Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет длину 0 и неопределенное направление. По соглашению в математике, нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору $\vec{b}$. Это следует из того, что $\vec{0} = k \cdot \vec{b}$ при $k=0$. Так как коэффициент $k=0$ является неотрицательным ($k \ge 0$), то нулевой вектор по определению считается сонаправленным любому вектору. Утверждение верно. Ответ: Верно.