Номер 938, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки. Глава 10. Векторы - номер 938, страница 229.

938 Докажите, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то AB = CD.

Доказательство: если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Введем на плоскости или в пространстве некоторую точку $O$ в качестве начала отсчета. Положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{r}_X = \vec{OX}$.

Пусть точки $A, B, C, D$ заданы своими радиус-векторами $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ можно выразить через радиус-векторы их начальных и конечных точек:
$\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$
$\vec{CD} = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Согласно условию, $\vec{AB} = \vec{CD}$. Запишем это равенство в терминах радиус-векторов:
$\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Перегруппируем члены этого равенства, чтобы в каждой части оказались векторы, соответствующие одному отрезку ($AD$ и $BC$):
$\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$

Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, и $N$ — середина отрезка $BC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, радиус-векторы точек $M$ и $N$ определяются как:
$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$
$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Из равенства $\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$, разделив обе части на 2, получаем:
$\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$
Это означает, что $\vec{r}_M = \vec{r}_N$.

Так как радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны, эти точки совпадают. Следовательно, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство обратного утверждения: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Для доказательства используем те же векторные обозначения. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, и $N$ — середина отрезка $BC$. Их радиус-векторы:
$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$
$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

По условию, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то есть точка $M$ совпадает с точкой $N$. Это эквивалентно равенству их радиус-векторов:
$\vec{r}_M = \vec{r}_N$
Следовательно:
$\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:
$\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$

Теперь перегруппируем члены равенства, чтобы получить выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\vec{r}_D - \vec{r}_C = \vec{r}_B - \vec{r}_A$

По определению, разность радиус-векторов $\vec{r}_B - \vec{r}_A$ есть вектор $\vec{AB}$, а разность $\vec{r}_D - \vec{r}_C$ есть вектор $\vec{CD}$. Подставив это в полученное равенство, имеем:
$\vec{CD} = \vec{AB}$
что эквивалентно
$\vec{AB} = \vec{CD}$

Таким образом, доказано, что равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ является следствием совпадения середин отрезков $AD$ и $BC$.

Ответ: Обратное утверждение доказано.