Номер 941, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 941, страница 235.

941 Турист прошёл 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы AB и ВС. Равны ли векторы AB + ВС и АС?

Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Для построения векторов перемещения туриста необходимо выбрать удобный масштаб. Расстояния, которые прошел турист, равны 20 км и 30 км. В качестве масштаба удобно взять 1 см на чертеже за 10 км на местности.

В этом масштабе:

• Длина вектора $\vec{AB}$, соответствующего перемещению на 20 км, будет равна $20 \text{ км} \div 10 \text{ км/см} = 2$ см.
• Длина вектора $\vec{BC}$, соответствующего перемещению на 30 км, будет равна $30 \text{ км} \div 10 \text{ км/см} = 3$ см.

Построение:

1. Выберем на листе бумаги произвольную точку и обозначим ее как город A.
2. Поскольку турист двигался на восток, отложим от точки A вправо (традиционное направление востока на картах) отрезок длиной 2 см. Конец этого отрезка обозначим точкой B и поставим стрелку, указывающую от A к B. Полученный направленный отрезок и есть вектор $\vec{AB}$.
3. Далее турист прошел 30 км на восток из города B в город C. От точки B отложим вправо по той же прямой отрезок длиной 3 см. Конец этого отрезка обозначим точкой C и поставим стрелку, указывающую от B к C. Это вектор $\vec{BC}$.
В результате точки A, B и C будут лежать на одной прямой, а векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ будут сонаправлены.

Ответ: Векторы построены в масштабе 1 см : 10 км, где вектор $\vec{AB}$ имеет длину 2 см, а вектор $\vec{BC}$ — 3 см, и оба направлены в одну сторону (на восток) вдоль одной прямой.

Равны ли векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$?

Равенство векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ следует напрямую из правила сложения векторов (правила треугольника или правила многоугольника).

По определению, суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (точка A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка C). Этот результирующий вектор и есть вектор $\vec{AC}$.

Таким образом, по правилу сложения векторов: $$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $$

Можно также проверить это, сравнив характеристики векторов:

• Вектор $\vec{AC}$ представляет собой общее перемещение из точки A в точку C. Так как движение происходило только на восток, то направление вектора $\vec{AC}$ — на восток. Его длина (модуль) равна общему пройденному расстоянию в одном направлении: $|\vec{AC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50$ км.
• Вектор $\vec{AB} + \vec{BC}$ — это сумма двух сонаправленных векторов. Его направление совпадает с направлением слагаемых векторов (на восток), а его длина равна сумме длин слагаемых векторов: $|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50$ км.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB} + \vec{BC}$ имеют одинаковую длину (50 км) и одинаковое направление (на восток), они равны.

Ответ: Да, векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равны.