Номер 947, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов - номер 947, страница 235.

Условие.

947 Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: а) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

а)

Для доказательства векторного равенства $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$ воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, для любых трех точек A, B, C справедливо равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Мы применим это правило к обеим частям доказываемого равенства.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MN} + \vec{NQ}$.

Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NQ}$ идут последовательно: начало второго вектора (точка N) совпадает с концом первого. По правилу треугольника, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) и конец второго (точка Q).

$\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MQ}$

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MP} + \vec{PQ}$.

Аналогично, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{PQ}$ идут последовательно. Их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) и конец второго (точка Q).

$\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{MQ}$, мы доказали, что равенство верно.

Ответ: Доказано. Обе части равенства, согласно правилу сложения векторов, равны одному и тому же вектору $\vec{MQ}$.

б)

Для доказательства равенства $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$ также воспользуемся правилом треугольника.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MN} + \vec{NP}$.

Сумма последовательных векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$ равна вектору, соединяющему начало первого (точка M) и конец второго (точка P).

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MQ} + \vec{QP}$.

Сумма последовательных векторов $\vec{MQ}$ и $\vec{QP}$ равна вектору, соединяющему начало первого (точка M) и конец второго (точка P).

$\vec{MQ} + \vec{QP} = \vec{MP}$

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{MP}$, равенство является верным.

Ответ: Доказано. Обе части равенства, согласно правилу сложения векторов, равны одному и тому же вектору $\vec{MP}$.