Номер 951, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 951, страница 235.

951 В треугольнике ABC: AB = 6, ВС = 8, ∠B = 90°. Найдите: а) | ВА | − | ВС | и | ВА − ВС |; б) | AB | + | ВС | и | AB + ВС |; в) | ВА | + | ВС | и | ВА + ВС |; г) | AB | − | ВС | и | AB − ВС |.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $AB = 6$, $BC = 8$ и $\angle B = 90^\circ$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AB$ и $BC$.

Сначала определим модули (длины) данных векторов. Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка:

$|\vec{AB}| = AB = 6$

$|\vec{BA}| = BA = 6$

$|\vec{BC}| = BC = 8$

Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, $|\vec{AC}| = |\vec{CA}| = 10$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

а) Найти $|\vec{BA}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} - \vec{BC}|$.

1. Разность модулей векторов – это простое арифметическое действие с их длинами:

$|\vec{BA}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Модуль разности векторов $\vec{BA} - \vec{BC}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной точки $B$. По правилу вычитания векторов, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ есть вектор $\vec{CA}$, который соединяет их концы (от конца вычитаемого $C$ к концу уменьшаемого $A$).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине отрезка $CA$, то есть длине гипотенузы:

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = 10$.

Ответ: -2 и 10.

б) Найти $|\vec{AB}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} + \vec{BC}|$.

1. Сумма модулей векторов:

$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Модуль суммы векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ соединены последовательно (конец первого совпадает с началом второго). По правилу треугольника, их сумма — это вектор $\vec{AC}$, замыкающий треугольник.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Модуль этого вектора равен длине гипотенузы $AC$:

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 10$.

Ответ: 14 и 10.

в) Найти $|\vec{BA}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} + \vec{BC}|$.

1. Сумма модулей векторов:

$|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Модуль суммы векторов $\vec{BA} + \vec{BC}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной точки $B$. Их сумму можно найти по правилу параллелограмма. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм $BADC$. Так как угол между векторами $\angle B = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником. Сумма векторов $\vec{BA} + \vec{BC}$ равна вектору диагонали $\vec{BD}$. Длина этой диагонали по теореме Пифагора для треугольника $BAD$ (или $BCD$) равна:

$|\vec{BD}| = \sqrt{BA^2 + AD^2} = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Итак, $|\vec{BA} + \vec{BC}| = 10$.

Ответ: 14 и 10.

г) Найти $|\vec{AB}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} - \vec{BC}|$.

1. Разность модулей векторов:

$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Модуль разности векторов $|\vec{AB} - \vec{BC}|$. Заметим, что $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Тогда:

$|\vec{AB} - \vec{BC}| = |-\vec{BA} - \vec{BC}| = |-1 \cdot (\vec{BA} + \vec{BC})| = |-1| \cdot |\vec{BA} + \vec{BC}| = |\vec{BA} + \vec{BC}|$.

Модуль этой суммы был найден в пункте в) и равен 10.
Альтернативно, можно использовать скалярное произведение. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = (\vec{AB} - \vec{BC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC}) = |\vec{AB}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot \vec{BC}) + |\vec{BC}|^2$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны (угол между ними $90^\circ$), поэтому их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$.

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = 6^2 - 2 \cdot 0 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: -2 и 10.