Номер 957, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 957, страница 236.

957 Отрезок ВВ₁ — медиана треугольника ABC. Выразите векторы В₁С, BB₁, ВА, ВС через x = AB₁ и у = AB.

По условию задачи, отрезок $BB_1$ является медианой треугольника $ABC$. Это означает, что точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Также даны векторы $\vec{x} = \vec{AB_1}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$. Выразим требуемые векторы через $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

$\vec{B_1C}$
Поскольку $B_1$ — середина отрезка $AC$, то векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{B_1C}$ равны, так как они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны ($|AB_1| = |B_1C|$). Следовательно, $\vec{B_1C} = \vec{AB_1}$. Так как по условию $\vec{AB_1} = \vec{x}$, получаем: $\vec{B_1C} = \vec{x}$.
Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{x}$.

$\vec{BB_1}$
Рассмотрим треугольник $ABB_1$. По правилу треугольника для сложения векторов имеем: $\vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{y}$, значит $\vec{BA} = -\vec{y}$. Вектор $\vec{AB_1}$ по условию равен $\vec{x}$. Подставляем полученные выражения в формулу: $\vec{BB_1} = -\vec{y} + \vec{x} = \vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\vec{BB_1} = \vec{x} - \vec{y}$.

$\vec{BA}$
Вектор $\vec{BA}$ имеет те же начало и конец, что и вектор $\vec{AB}$, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{y}$, поэтому: $\vec{BA} = -\vec{y}$.
Ответ: $\vec{BA} = -\vec{y}$.

$\vec{BC}$
Рассмотрим треугольник $ABC$. По правилу треугольника для сложения векторов: $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$. Мы уже нашли, что $\vec{BA} = -\vec{y}$. Поскольку $B_1$ — середина $AC$, то вектор $\vec{AC}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AB_1}$ и сонаправлен с ним: $\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB_1}$. По условию $\vec{AB_1} = \vec{x}$, значит $\vec{AC} = 2\vec{x}$. Подставляем полученные выражения в формулу для $\vec{BC}$: $\vec{BC} = -\vec{y} + 2\vec{x} = 2\vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{x} - \vec{y}$.