Номер 963, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 963, страница 241.

963 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О отложите векторы, равные 2р и 12q.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений, основанных на правилах операций с векторами.

Шаг 1: Начальное построение векторов и точки.
Сначала начертим на плоскости два неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Согласно условию, их начала не должны совпадать. Например, вектор $\vec{p}$ может быть задан отрезком AB, а вектор $\vec{q}$ — отрезком CD, где точки A и C различны, а прямые AB и CD не параллельны. Затем на плоскости отмечаем произвольную точку O, которая будет служить началом для новых векторов.

Шаг 2: Построение вектора, равного $2\vec{p}$.
Чтобы отложить от точки O вектор, равный $2\vec{p}$, нужно построить новый вектор, который удовлетворяет двум условиям:

• Он сонаправлен с вектором $\vec{p}$ (то есть имеет то же направление).
• Его длина (модуль) в два раза больше длины вектора $\vec{p}$.

Построение выполняется следующим образом:
1. Через точку O проводим прямую, параллельную вектору $\vec{p}$.
2. На этой прямой от точки O в том же направлении, что и у вектора $\vec{p}$, откладываем отрезок, длина которого равна $2 \cdot |\vec{p}|$.
3. Конец этого отрезка обозначим точкой M. Полученный вектор $\vec{OM}$ является искомым, так как $\vec{OM}$ сонаправлен с $\vec{p}$ и $|\vec{OM}| = 2|\vec{p}|$. Следовательно, $\vec{OM} = 2\vec{p}$.

Шаг 3: Построение вектора, равного $\frac{1}{2}\vec{q}$.
Аналогично, чтобы отложить от точки O вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{q}$, нужно построить вектор, который:

• Сонаправлен с вектором $\vec{q}$.
• Его длина равна половине длины вектора $\vec{q}$.

Построение выполняется так:
1. Через точку O проводим прямую, параллельную вектору $\vec{q}$.
2. На этой прямой от точки O в том же направлении, что и у вектора $\vec{q}$, откладываем отрезок, длина которого равна $\frac{1}{2} \cdot |\vec{q}|$.
3. Конец этого отрезка обозначим точкой N. Полученный вектор $\vec{ON}$ является искомым, так как $\vec{ON}$ сонаправлен с $\vec{q}$ и $|\vec{ON}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$. Следовательно, $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{q}$.

В результате этих построений от точки O отложены два вектора, $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$, которые соответственно равны $2\vec{p}$ и $\frac{1}{2}\vec{q}$.

Ответ: Построение выполнено. От точки O отложены два вектора: вектор $\vec{OM} = 2\vec{p}$, который сонаправлен вектору $\vec{p}$ и имеет вдвое большую длину, и вектор $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{q}$, который сонаправлен вектору $\vec{q}$ и имеет длину, равную половине его длины. Построение осуществляется с помощью параллельного переноса направлений исходных векторов в точку O и соответствующего масштабирования их длин.