Номер 968, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 968, страница 241.

968 Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а) 1 ⋅ а = а; б) (−1) ⋅ а = −а.

а)

Для доказательства равенства $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ мы воспользуемся определением умножения вектора на скаляр (число). Согласно этому определению, произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$, который удовлетворяет двум условиям:

1. Его длина (модуль) равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Он сонаправлен вектору $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $k < 0$.

Рассмотрим данный случай, когда скаляр $k=1$.

Проверим длину вектора $1 \cdot \vec{a}$. По определению, она равна $|1| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|1|=1$, то длина результирующего вектора равна $1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длина вектора $1 \cdot \vec{a}$ совпадает с длиной вектора $\vec{a}$.

Проверим направление вектора $1 \cdot \vec{a}$. Так как скаляр $k=1$ является положительным числом ($1 > 0$), направление вектора $1 \cdot \vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$.

Поскольку вектор $1 \cdot \vec{a}$ имеет ту же длину и то же направление, что и вектор $\vec{a}$, то эти векторы равны по определению равенства векторов. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, равенство $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$ также очевидно выполняется.

Ответ: Равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б)

Для доказательства равенства $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ мы сравним вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ с вектором $-\vec{a}$ (противоположным вектору $\vec{a}$).

По определению, вектор $-\vec{a}$ — это вектор, который имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. То есть, $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ и направление вектора $-\vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$.

Теперь рассмотрим вектор $(-1) \cdot \vec{a}$, используя определение умножения вектора на скаляр, где $k=-1$.

Проверим длину вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. Она равна $|-1| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|-1|=1$, то длина результирующего вектора равна $1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длина вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ совпадает с длиной вектора $\vec{a}$ (и, следовательно, с длиной вектора $-\vec{a}$).

Проверим направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. Так как скаляр $k=-1$ является отрицательным числом ($-1 < 0$), направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$.

Итак, мы установили, что вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ имеет ту же длину, что и вектор $\vec{a}$, и направлен в противоположную сторону. Это в точности соответствует определению противоположного вектора $-\vec{a}$. Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, равенство $(-1) \cdot \vec{0} = -\vec{0}$ (что равносильно $\vec{0} = \vec{0}$) также выполняется.

Ответ: Равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.