Номер 969, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 969, страница 241.

969 Пусть х = m + n, у = m − n. Выразите через m и n векторы: а) 2х − 2у; б) 2x + 12y; в) −x - 13y.

Дано: $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$.

а) Чтобы выразить вектор $2\vec{x} - 2\vec{y}$ через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, подставим в выражение данные нам разложения векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, умножив каждый вектор в них на соответствующий коэффициент:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2\vec{m} - 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0 \cdot \vec{m} + 4\vec{n} = 4\vec{n}$

Ответ: $4\vec{n}$.

б) Аналогично поступим с выражением $2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$. Подставим $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$:

$2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}) = (\frac{4}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (\frac{4}{2}\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}) = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

Ответ: $\frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$.

в) Выразим вектор $-\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Подставляем известные выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$-\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y} = -(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$-\vec{m} - \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}$

Приведем подобные слагаемые:

$(-\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n}) = (-\frac{3}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\frac{3}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

Ответ: $-\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.