Номер 976, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 976, страница 242.

976 Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть АА₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Тогда $\overrightarrow{A{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),$ $\overrightarrow{B{B}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}),$ $\overrightarrow{C{C}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$ (см. задачу 1, п. 92). Сложив эти равенства, получим

$\overrightarrow{АА₁}+\overrightarrow{ВВ₁}+\overrightarrow{СС₁}=\frac{1}{2}\left(\right(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ВА})+(\overrightarrow{АС}+\overrightarrow{СА})+(\overrightarrow{СВ}+\overrightarrow{ВС}\left)\right)=\overrightarrow{0}.$

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов $\overrightarrow{АА₁}, \overrightarrow{BB₁}, \overrightarrow{CC₁}$ по правилу многоугольника (п. 89), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNP на рисунке 305).

Решение

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Для доказательства существования треугольника, стороны которого равны и параллельны этим медианам, воспользуемся векторным методом.

Сначала выразим векторы, соответствующие медианам, через векторы сторон треугольника. Рассмотрим медиану $AA_1$. Вектор $\vec{AA_1}$ можно представить по правилу параллелограмма. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Тогда $D$ — такая точка, что $\vec{AB} = \vec{CD}$ и $\vec{AC} = \vec{BD}$. Диагональ $AD$ этого параллелограмма равна удвоенной медиане $AA_1$, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, а вторая диагональ — это $BC$. По правилу сложения векторов, $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Таким образом, $2\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{AC}$, откуда следует:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Аналогично, выразим векторы для двух других медиан:

$\vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$

$\vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Теперь найдем сумму векторов, соответствующих медианам, сложив эти три равенства:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) + \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем попарно противоположные векторы:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{BC} + \vec{CB}))$

Так как сумма противоположных векторов равна нулевому вектору (например, $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$), то каждая сумма в круглых скобках равна $\vec{0}$.

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}) = \vec{0}$

Мы получили, что сумма векторов медиан треугольника $ABC$ равна нулевому вектору. Это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы из этих векторов можно было составить замкнутую ломаную, то есть треугольник.

Для построения такого треугольника (назовем его $MNP$) возьмем произвольную точку $M$ и отложим от нее последовательно векторы, равные векторам медиан. Например, отложим $\vec{MN} = \vec{AA_1}$, а затем $\vec{NP} = \vec{BB_1}$. Так как сумма трех векторов равна нулю, то вектор, замыкающий ломаную, $\vec{PM}$, будет равен вектору $\vec{CC_1}$.

В полученном треугольнике $MNP$ его стороны по построению будут параллельны и равны по длине медианам треугольника $ABC$: $MN \parallel AA_1, MN = AA_1$; $NP \parallel BB_1, NP = BB_1$; $PM \parallel CC_1, PM = CC_1$. Таким образом, существование искомого треугольника доказано.

Ответ: Доказательство основано на векторном методе. Сумма векторов, соответствующих медианам произвольного треугольника ($\vec{m_a} = \vec{AA_1}$, $\vec{m_b} = \vec{BB_1}$, $\vec{m_c} = \vec{CC_1}$), всегда равна нулевому вектору: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{0}$. Это свойство векторов является необходимым и достаточным условием того, что из отрезков, равных по длине и параллельных этим векторам, можно построить треугольник.