Номер 979, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 979, страница 243.

979 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ как точки $K, L, M$ и $N$ соответственно. Требуется доказать, что отрезки $KM$ и $LN$, соединяющие середины противоположных сторон, точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

1. Проведём диагональ $AC$ в четырёхугольнике. Она разделяет его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Таким образом, $KL$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. В треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Таким образом, $NM$ является средней линией $\triangle ADC$. Аналогично, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

4. Сравнивая результаты для отрезков $KL$ и $NM$, мы видим, что они оба параллельны прямой $AC$ и равны по длине $\frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$.

5. Теперь рассмотрим четырёхугольник $KLMN$. Поскольку у него две противоположные стороны ($KL$ и $NM$) равны и параллельны, по признаку параллелограмма, $KLMN$ является параллелограммом. (Этот факт известен как теорема Вариньона, а четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм Вариньона).

6. Отрезки $KM$ и $LN$, которые мы рассматриваем в задаче, являются диагоналями этого параллелограмма $KLMN$.

7. Согласно основному свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Следовательно, отрезки $KM$ и $LN$ точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, делятся точкой пересечения пополам, так как они являются диагоналями параллелограмма, образованного последовательным соединением середин сторон исходного четырёхугольника.