Номер 975, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 975, страница 242.

975 Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы а = ED и b = EF.

По условию задачи, $EG$ — медиана треугольника $DEF$, это означает, что точка $G$ является серединой стороны $DF$. Точка $O$ — середина медианы $EG$. Нам необходимо выразить вектор $\vec{DO}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{ED}$ и $\vec{b} = \vec{EF}$.

Для нахождения вектора $\vec{DO}$ воспользуемся свойством вектора, проведенного к середине отрезка. Вектор, проведенный из произвольной точки (в нашем случае $D$) к середине отрезка ($EG$), равен полусумме векторов, проведенных из той же точки $D$ к концам этого отрезка (к точкам $E$ и $G$). Таким образом, имеем:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}(\vec{DE} + \vec{DG})$

Теперь выразим векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DG}$ через данные в условии векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вектор $\vec{DE}$ противоположен по направлению вектору $\vec{ED}$. По условию $\vec{ED} = \vec{a}$, следовательно:

$\vec{DE} = -\vec{ED} = -\vec{a}$

Поскольку $G$ — середина стороны $DF$, то вектор $\vec{DG}$ равен половине вектора $\vec{DF}$:

$\vec{DG} = \frac{1}{2}\vec{DF}$

Вектор $\vec{DF}$ можно выразить по правилу сложения векторов (правилу треугольника) через векторы $\vec{DE}$ и $\vec{EF}$:

$\vec{DF} = \vec{DE} + \vec{EF}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{DE}$ и $\vec{EF}$:

$\vec{DF} = -\vec{a} + \vec{b}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DF}$ в формулу для $\vec{DG}$:

$\vec{DG} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b})$

Наконец, подставим найденные выражения для векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DG}$ в исходную формулу для $\vec{DO}$:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}(\vec{DE} + \vec{DG}) = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} + \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b})\right)$

Упростим полученное выражение, последовательно раскрывая скобки:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

$\vec{DO} = \frac{1}{2}\left(-\frac{2}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

$\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Ответ: $\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.