Номер 971, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

971 Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы AM и МD через векторы а = AD и b = AB.

Выражение вектора $\vec{AM}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AM}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По условию задачи нам даны векторы $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{a} = \vec{AD}$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ и делит её в отношении $BM : MC = 3 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от длины всей стороны $BC$. Так как векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то можно записать:

$\vec{BM} = \frac{3}{4}\vec{BC}$

В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{BC} = \vec{a}$.

Теперь подставим это в выражение для вектора $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \frac{3}{4}\vec{a}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Выражение вектора $\vec{MD}$

Вектор $\vec{MD}$ можно также выразить с помощью правила сложения векторов, рассмотрев путь из точки $M$ в точку $D$ через точку $C$:

$\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD}$

Из отношения $BM : MC = 3 : 1$ следует, что длина отрезка $MC$ составляет $\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ от длины стороны $BC$. Векторы $\vec{MC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены.

$\vec{MC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$

Как мы уже установили, $\vec{BC} = \vec{a}$, поэтому:

$\vec{MC} = \frac{1}{4}\vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{DC} = \vec{b}$. Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, поэтому:

$\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{b}$

Подставим найденные выражения для $\vec{MC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{1}{4}\vec{a} + (-\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$

Для проверки можно использовать другой способ: выразить $\vec{MD}$ как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AM}$ (по правилу треугольника для векторов с общим началом $A$).

$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$

Подставим известные векторы: $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

$\vec{MD} = \vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a} = (1 - \frac{3}{4})\vec{a} - \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{MD} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.