Номер 967, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 967, страница 241.

967 Дан вектор р = 3а, где а ≠ 0. Как направлен каждый из векторов а, −а, 12a, −2а, 6а по отношению к вектору p? Выразите длины этих векторов через | p |.

По условию дан вектор $\vec{p} = 3\vec{a}$, где $\vec{a} \neq \vec{0}$. Это означает, что все рассматриваемые векторы коллинеарны вектору $\vec{p}$, так как они являются результатом умножения вектора $\vec{a}$ на некоторое число.
Для определения направления и длины каждого вектора относительно $\vec{p}$, сначала выразим $\vec{a}$ через $\vec{p}$. Из исходного равенства $\vec{p} = 3\vec{a}$ получаем: $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$.
Далее будем использовать общее правило: для вектора $\vec{b} = k \cdot \vec{p}$, его направление по отношению к $\vec{p}$ определяется знаком коэффициента $k$. Если $k > 0$, векторы сонаправлены. Если $k < 0$, векторы направлены противоположно. Длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{p}|$.

$\vec{a}$

Выразим $\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=\frac{1}{3}$ является положительным, следовательно, вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|\vec{a}| = |\frac{1}{3}\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$-\vec{a}$

Выразим $-\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-\vec{a} = -(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{1}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=-\frac{1}{3}$ является отрицательным, следовательно, вектор $-\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|-\vec{a}| = |-\frac{1}{3}\vec{p}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$, его длина $|-\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$\frac{1}{2}\vec{a}$

Выразим $\frac{1}{2}\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\vec{p}) = \frac{1}{6}\vec{p}$.
Коэффициент $k=\frac{1}{6}$ является положительным, следовательно, вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|\frac{1}{2}\vec{a}| = |\frac{1}{6}\vec{p}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|\frac{1}{2}\vec{a}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.

$-2\vec{a}$

Выразим $-2\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-2\vec{a} = -2(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{2}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=-\frac{2}{3}$ является отрицательным, следовательно, вектор $-2\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|-2\vec{a}| = |-\frac{2}{3}\vec{p}| = |-\frac{2}{3}| \cdot |\vec{p}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-2\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$, его длина $|-2\vec{a}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.

$6\vec{a}$

Выразим $6\vec{a}$ через $\vec{p}$: $6\vec{a} = 6(\frac{1}{3}\vec{p}) = 2\vec{p}$.
Коэффициент $k=2$ является положительным, следовательно, вектор $6\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|6\vec{a}| = |2\vec{p}| = 2|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $6\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|6\vec{a}| = 2|\vec{p}|$.