Номер 972, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 92. Применение векторов к решению задач - номер 972, страница 241.

Условие.

972 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = 12MD. Выразите через векторы x = AD, y = AB следующие векторы:

а) АС, АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА;

б) AM, МС, ВМ, ОМ.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ на стороне $AD$ такова, что $AM = \frac{1}{2}MD$. Векторы $\vec{x} = \vec{AD}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$.

Прежде всего, определим основные векторные соотношения в параллелограмме:

• Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{y}$.
• Диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
• Из условия $AM = \frac{1}{2}MD$ следует, что длина отрезка $AM$ составляет одну треть длины отрезка $AD$ ($AD = AM + MD = AM + 2AM = 3AM$). Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, то $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

а)

$\vec{AC}$: По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{y} + \vec{x}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{AO}$: Точка $O$ — середина диагонали $AC$, следовательно: $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{CO}$: Вектор $\vec{CO}$ равен вектору $\vec{OA}$ и противоположен вектору $\vec{AO}$. $\vec{CO} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{CO} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{DO}$: Сначала найдем вектор диагонали $\vec{BD}$. По правилу треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{y} + \vec{x}$. Точка $O$ — середина $BD$, поэтому $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$. Вектор $\vec{DO}$ противоположен вектору $\vec{BO}$: $\vec{DO} = -\vec{BO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$.
Ответ: $\vec{DO} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{AD} + \vec{BC}$: Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$. Тогда сумма векторов: $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{x} = 2\vec{x}$.
Ответ: $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{x}$.

$\vec{AD} + \vec{CO}$: Используем ранее полученные выражения: $\vec{AD} + \vec{CO} = \vec{x} + (-\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})) = \vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\vec{AD} + \vec{CO} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{CO} + \vec{OA}$: По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{CO} + \vec{OA} = \vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$: $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{CO} + \vec{OA} = -\vec{x} - \vec{y}$.

б)

$\vec{AM}$: Как было установлено ранее из условия $AM = \frac{1}{2}MD$, вектор $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

$\vec{MC}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{MC} = \vec{MD} + \vec{DC}$. Мы знаем, что $\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM} = \vec{x} - \frac{1}{3}\vec{x} = \frac{2}{3}\vec{x}$, а $\vec{DC} = \vec{y}$. Тогда $\vec{MC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.
Ответ: $\vec{MC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{BM}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$. Мы знаем, что $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{y}$ и $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$. Тогда $\vec{BM} = -\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.

$\vec{OM}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$. Мы знаем, что $\vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ и $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$. Тогда $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + \frac{1}{3}\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6})\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{5}{6}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\vec{OM} = \frac{5}{6}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.