Номер 978, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 978, страница 243.

978 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции и его длина равна полуразности длин оснований.

Для доказательства рассмотрим середину боковой стороны $AB$ и обозначим её точкой $K$.

Доказательство параллельности отрезка $MN$ основаниям трапеции

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $KN$ параллелен стороне $AD$ и равен её половине: $KN || AD$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KM$ параллелен стороне $BC$ и равен её половине: $KM || BC$.

3. По определению трапеции, её основания параллельны: $AD || BC$. Из этого и результатов пунктов 1 и 2 ($KN || AD$ и $KM || BC$) следует, что отрезки $KN$ и $KM$ также параллельны друг другу: $KN || KM$.

4. Так как прямые, содержащие отрезки $KN$ и $KM$, проходят через одну и ту же точку $K$ и параллельны друг другу, они совпадают. Это означает, что точки $K, M, N$ лежат на одной прямой.

5. Поскольку отрезок $MN$ лежит на той же прямой, что и отрезок $KN$, а $KN || AD$, то и отрезок $MN$ параллелен основанию $AD$. Так как $AD || BC$, то $MN$ параллелен и второму основанию $BC$. Первая часть утверждения доказана.

Доказательство того, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований

1. Из свойств средней линии треугольника, найденных ранее, мы имеем:
$KN = \frac{1}{2}AD$
$KM = \frac{1}{2}BC$

2. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ равна модулю разности длин отрезков $KN$ и $KM$.

3. Пусть $AD$ — большее основание, то есть $AD > BC$. Тогда $KN > KM$, и точка $M$ будет лежать между точками $K$ и $N$. В этом случае длина $MN$ равна:
$MN = KN - KM = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.

4. Если же $BC > AD$, то $KM > KN$, и точка $N$ будет лежать между $K$ и $M$. Тогда:
$MN = KM - KN = \frac{BC}{2} - \frac{AD}{2} = \frac{BC - AD}{2}$.

5. Объединяя оба случая, можно записать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности длин оснований:
$MN = \frac{|AD - BC|}{2}$.

Таким образом, обе части утверждения доказаны.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.