Номер 985, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 985, страница 243.

985 Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ является средней линией трапеции.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Рассмотрим одну из диагоналей, например, $AC$. Пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике отрезок $MK$ является частью прямой $MN$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и прямая $MK$ параллельна стороне $BC$ (поскольку $MN \parallel BC$), то по теореме, обратной теореме о средней линии треугольника (или по обобщенной теореме Фалеса), точка $K$ должна быть серединой стороны $AC$.

Таким образом, средняя линия $MN$ пересекает диагональ $AC$ в её середине.

Аналогично рассмотрим вторую диагональ $BD$. Пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $L$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике отрезок $ML$ является частью прямой $MN$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и прямая $ML$ параллельна стороне $AD$ (поскольку $MN \parallel AD$), то по той же теореме точка $L$ является серединой стороны $BD$.

Таким образом, средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в её середине.

Мы доказали, что средняя линия трапеции проходит через середины обеих её диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.