Номер 987, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 987, страница 243.

987 Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр (высоту) $BH$ к основанию $AD$. По условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка, больший из которых равен 7 см.

Для решения задачи проведем еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

Рассмотрим получившиеся фигуры:

• Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции) и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$ (как высоты). Следовательно, $HK = BC$.
• Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а также высоты равны ($BH = CK$). Таким образом, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = DK$.

Высота $BH$ делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Сравним их длины.Отрезок $HD$ можно представить в виде суммы $HD = HK + DK$. Заменив $HK$ на $BC$ и $DK$ на $AH$, получаем:

$HD = BC + AH$

Поскольку $BC$ (длина меньшего основания) — это положительная величина, очевидно, что $HD > AH$. Следовательно, $HD$ — это больший из двух отрезков, на которые высота делит основание $AD$.

По условию задачи, длина этого большего отрезка равна 7 см. Таким образом, $HD = 7$ см.

Теперь найдем среднюю линию трапеции. Обозначим ее $M$. Формула для вычисления средней линии:

$M = \frac{AD + BC}{2}$

Мы можем выразить длину основания $AD$ через его части: $AD = AH + HD$. Подставим это в формулу средней линии:

$M = \frac{(AH + HD) + BC}{2} = \frac{(AH + BC) + HD}{2}$

Ранее мы установили, что $HD = AH + BC$. Подставим $HD$ вместо суммы $(AH + BC)$ в числитель:

$M = \frac{HD + HD}{2} = \frac{2 \cdot HD}{2} = HD$

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренной трапеции длина большего отрезка, отсекаемого высотой от большего основания, равна длине средней линии.

Поскольку $HD = 7$ см, то и средняя линия трапеции равна 7 см.

Ответ: 7 см.