Номер 986, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 986, страница 243.

986 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию задачи, длина боковой стороны $AB = CD = 48$ см.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. По условию, отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны 11 см и 35 см.

Отрезок средней линии, находящийся в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции (например, $\triangle ABC$), является его средней линией. Так, в $\triangle ABC$ отрезок $MK$ является средней линией, и его длина равна половине основания $BC$. В $\triangle ACD$ отрезок $KN$ является средней линией, и его длина равна половине основания $AD$.

Поскольку $AD$ — большее основание, то и соответствующий ему отрезок средней линии $KN$ будет большим. Следовательно, $KN = 35$ см и $MK = 11$ см.

Найдем длины оснований трапеции:

$BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 11 = 22$ см.

$AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Для нахождения углов трапеции опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{70 - 22}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AB = 48$ см и катет $AH = 24$ см. Мы можем найти угол $A$ трапеции, который является одним из острых углов этого треугольника.

Используем определение косинуса угла:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, следовательно:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

И так как трапеция равнобедренная:

$\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$.