Страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

978 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции и его длина равна полуразности длин оснований.

Для доказательства рассмотрим середину боковой стороны $AB$ и обозначим её точкой $K$.

Доказательство параллельности отрезка $MN$ основаниям трапеции

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $KN$ параллелен стороне $AD$ и равен её половине: $KN || AD$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KM$ параллелен стороне $BC$ и равен её половине: $KM || BC$.

3. По определению трапеции, её основания параллельны: $AD || BC$. Из этого и результатов пунктов 1 и 2 ($KN || AD$ и $KM || BC$) следует, что отрезки $KN$ и $KM$ также параллельны друг другу: $KN || KM$.

4. Так как прямые, содержащие отрезки $KN$ и $KM$, проходят через одну и ту же точку $K$ и параллельны друг другу, они совпадают. Это означает, что точки $K, M, N$ лежат на одной прямой.

5. Поскольку отрезок $MN$ лежит на той же прямой, что и отрезок $KN$, а $KN || AD$, то и отрезок $MN$ параллелен основанию $AD$. Так как $AD || BC$, то $MN$ параллелен и второму основанию $BC$. Первая часть утверждения доказана.

Доказательство того, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований

1. Из свойств средней линии треугольника, найденных ранее, мы имеем:
$KN = \frac{1}{2}AD$
$KM = \frac{1}{2}BC$

2. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ равна модулю разности длин отрезков $KN$ и $KM$.

3. Пусть $AD$ — большее основание, то есть $AD > BC$. Тогда $KN > KM$, и точка $M$ будет лежать между точками $K$ и $N$. В этом случае длина $MN$ равна:
$MN = KN - KM = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.

4. Если же $BC > AD$, то $KM > KN$, и точка $N$ будет лежать между $K$ и $M$. Тогда:
$MN = KM - KN = \frac{BC}{2} - \frac{AD}{2} = \frac{BC - AD}{2}$.

5. Объединяя оба случая, можно записать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности длин оснований:
$MN = \frac{|AD - BC|}{2}$.

Таким образом, обе части утверждения доказаны.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

979 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ как точки $K, L, M$ и $N$ соответственно. Требуется доказать, что отрезки $KM$ и $LN$, соединяющие середины противоположных сторон, точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

1. Проведём диагональ $AC$ в четырёхугольнике. Она разделяет его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Таким образом, $KL$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

3. В треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Таким образом, $NM$ является средней линией $\triangle ADC$. Аналогично, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

4. Сравнивая результаты для отрезков $KL$ и $NM$, мы видим, что они оба параллельны прямой $AC$ и равны по длине $\frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$.

5. Теперь рассмотрим четырёхугольник $KLMN$. Поскольку у него две противоположные стороны ($KL$ и $NM$) равны и параллельны, по признаку параллелограмма, $KLMN$ является параллелограммом. (Этот факт известен как теорема Вариньона, а четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм Вариньона).

6. Отрезки $KM$ и $LN$, которые мы рассматриваем в задаче, являются диагоналями этого параллелограмма $KLMN$.

7. Согласно основному свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Следовательно, отрезки $KM$ и $LN$ точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, делятся точкой пересечения пополам, так как они являются диагоналями параллелограмма, образованного последовательным соединением середин сторон исходного четырёхугольника.

980 Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.

Сформулируем теорему о средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника.

Нам нужно доказать, что отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и его длина в два раза меньше длины $AC$. В векторной форме это означает, что нам нужно доказать равенство: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} $

Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы, исходящие из вершин треугольника. Используя правило многоугольника (в данном случае, правило треугольника) для сложения векторов, мы можем записать: $ \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN} $

Также можно выразить $\vec{MN}$ по-другому, через путь $M \to B \to N$: $ \vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN} $

Рассмотрим второй способ, так как он проще.

По определению точки $M$ как середины отрезка $AB$, вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$: $ \vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB} $

Аналогично, по определению точки $N$ как середины отрезка $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$: $ \vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC} $

Теперь подставим эти выражения в равенство для вектора $\vec{MN}$: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) $

По правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

Подставив это в наше выражение для $\vec{MN}$, получаем итоговое равенство: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} $

Из этого векторного равенства следует два утверждения:

1. Так как вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $\frac{1}{2}$, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны (сонаправлены, так как $\frac{1}{2} > 0$). Это означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $AC$.
2. Длина (модуль) вектора $\vec{MN}$ равна половине длины (модуля) вектора $\vec{AC}$: $ |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| $. Это означает, что длина отрезка $MN$ равна половине длины отрезка $AC$.

Таким образом, оба утверждения теоремы доказаны.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника доказана с помощью векторного метода: было показано, что вектор средней линии $\vec{MN}$ равен $\frac{1}{2}\vec{AC}$, где $\vec{AC}$ — вектор третьей стороны, из чего следует как параллельность, так и соотношение длин.

981 Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — её боковые стороны. Согласно условию задачи, длины боковых сторон равны $c = 13$ см и $d = 15$ см, а периметр трапеции $P = 48$ см.

Периметр трапеции — это сумма длин всех её сторон, которая вычисляется по формуле $P = a + b + c + d$. Используем эту формулу, чтобы найти сумму длин оснований ($a + b$). Подставим известные значения:
$48 = a + b + 13 + 15$
$48 = a + b + 28$

Выразим из этого уравнения сумму оснований:
$a + b = 48 - 28$
$a + b = 20$ см.

Средняя линия трапеции (обозначим её $m$) по определению равна полусумме её оснований. Формула для вычисления средней линии: $m = \frac{a + b}{2}$.

Теперь, зная сумму оснований, мы можем легко вычислить длину средней линии:
$m = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

982 Сторона AB треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны AB и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ разделена точками $D_1, D_2, D_3$ на четыре равные части, считая от вершины $A$. Это означает, что $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B$. Если обозначить длину отрезка $AD_1$ как $x$, то получим: $AD_1 = x$, $AD_2 = 2x$, $AD_3 = 3x$ и вся сторона $AB = 4x$.

Через точки деления $D_1, D_2, D_3$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть они пересекают сторону $AC$ в точках $E_1, E_2, E_3$ соответственно. Таким образом, на этих прямых образуются три отрезка: $D_1E_1$, $D_2E_2$ и $D_3E_3$.

Рассмотрим треугольники, которые образовались в результате этих построений: $\triangle AD_1E_1, \triangle AD_2E_2, \triangle AD_3E_3$ и исходный $\triangle ABC$.

Поскольку прямая $D_1E_1$ параллельна $BC$, то $\triangle AD_1E_1$ подобен $\triangle ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, $\angle AD_1E_1 = \angle ABC$ как соответственные). Аналогично, $\triangle AD_2E_2 \sim \triangle ABC$ и $\triangle AD_3E_3 \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Отношение длин отрезков, параллельных стороне $BC$, к самой стороне $BC$ будет равно отношению длин отрезков на стороне $AB$ к полной длине $AB$.
Для отрезка $D_1E_1$: $\frac{D_1E_1}{BC} = \frac{AD_1}{AB} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$, откуда $D_1E_1 = \frac{1}{4}BC$.
Для отрезка $D_2E_2$: $\frac{D_2E_2}{BC} = \frac{AD_2}{AB} = \frac{2x}{4x} = \frac{2}{4}$, откуда $D_2E_2 = \frac{2}{4}BC$.
Для отрезка $D_3E_3$: $\frac{D_3E_3}{BC} = \frac{AD_3}{AB} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$, откуда $D_3E_3 = \frac{3}{4}BC$.

Таким образом, длины трех отрезков $D_1E_1$, $D_2E_2$ и $D_3E_3$ относятся как $1:2:3$.

Наименьший из этих отрезков тот, который соответствует наименьшему коэффициенту, то есть $D_1E_1$. По условию задачи, его длина равна 3,4 см.

Теперь можем найти длины двух других отрезков, используя установленное соотношение:
$D_2E_2 = 2 \cdot D_1E_1 = 2 \cdot 3,4 = 6,8$ см.
$D_3E_3 = 3 \cdot D_1E_1 = 3 \cdot 3,4 = 10,2$ см.

Ответ: 6,8 см и 10,2 см.

983 Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Пусть дан диаметр $AB$ окружности с центром в точке $O$. Пусть $l$ — касательная к этой окружности. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на прямую $l$. По условию, длины этих перпендикуляров равны 18 см и 12 см. То есть, $AA' = 18$ см и $BB' = 12$ см.

Поскольку отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу. Таким образом, фигура $AA'B'B$ является прямоугольной трапецией, где $AA'$ и $BB'$ — параллельные основания, а $AB$ — одна из боковых сторон.

Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Расстояние от центра окружности до касательной к ней равно радиусу $r$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к касательной $l$. Длина этого перпендикуляра $OK$ равна радиусу $r$.

В трапеции $AA'B'B$ отрезок $OK$ параллелен основаниям $AA'$ и $BB'$ и соединяет середину боковой стороны $AB$ с боковой стороной $A'B'$. Следовательно, $OK$ является средней линией трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Таким образом, мы можем найти радиус $r$:

$r = OK = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставив числовые значения, получим:

$r = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Диаметр окружности $d$ в два раза больше радиуса:

$d = 2r = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

984 Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС₁ и DD₁ к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD₁, если СС₁ = 11 см, а CD = 27 см.

Пусть O — центр данной окружности, а $l$ — касательная к ней в точке T.

По условию, $CD$ — это диаметр окружности, и его длина составляет $CD = 27$ см. Центр окружности O является серединой диаметра $CD$. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{CD}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ см.

Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. Проведем из точки O перпендикуляр OT к касательной $l$ (T — точка касания). Длина этого перпендикуляра $OT = R = 13.5$ см.

По условию, из точек C и D проведены перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ к касательной $l$. Это означает, что $CC_1 \perp l$ и $DD_1 \perp l$.

Поскольку прямые $CC_1$, $DD_1$ и $OT$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны между собой: $CC_1 \parallel DD_1 \parallel OT$.

Четырехугольник $CC_1D_1D$ является прямоугольной трапецией с параллельными основаниями $CC_1$ и $DD_1$. (Точки C и D находятся по одну сторону от касательной $l$, так как вся окружность, за исключением точки касания, лежит по одну сторону от нее).

Рассмотрим эту трапецию. Точка O является серединой боковой стороны $CD$. Отрезок $OT$ параллелен основаниям $CC_1$ и $DD_1$ и соединяет середину боковой стороны $CD$ с точкой T на стороне $C_1D_1$. Следовательно, $OT$ является средней линией трапеции $CC_1D_1D$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Запишем это в виде формулы:$OT = \frac{CC_1 + DD_1}{2}$

Нам известны длины $OT = 13.5$ см и $CC_1 = 11$ см. Подставим эти значения в формулу:$13.5 = \frac{11 + DD_1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $DD_1$:$2 \cdot 13.5 = 11 + DD_1$$27 = 11 + DD_1$$DD_1 = 27 - 11$$DD_1 = 16$ см.

Ответ: $16$ см.

985 Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ является средней линией трапеции.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Рассмотрим одну из диагоналей, например, $AC$. Пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике отрезок $MK$ является частью прямой $MN$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и прямая $MK$ параллельна стороне $BC$ (поскольку $MN \parallel BC$), то по теореме, обратной теореме о средней линии треугольника (или по обобщенной теореме Фалеса), точка $K$ должна быть серединой стороны $AC$.

Таким образом, средняя линия $MN$ пересекает диагональ $AC$ в её середине.

Аналогично рассмотрим вторую диагональ $BD$. Пусть средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $L$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике отрезок $ML$ является частью прямой $MN$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и прямая $ML$ параллельна стороне $AD$ (поскольку $MN \parallel AD$), то по той же теореме точка $L$ является серединой стороны $BD$.

Таким образом, средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в её середине.

Мы доказали, что средняя линия трапеции проходит через середины обеих её диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

986 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию задачи, длина боковой стороны $AB = CD = 48$ см.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. По условию, отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны 11 см и 35 см.

Отрезок средней линии, находящийся в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции (например, $\triangle ABC$), является его средней линией. Так, в $\triangle ABC$ отрезок $MK$ является средней линией, и его длина равна половине основания $BC$. В $\triangle ACD$ отрезок $KN$ является средней линией, и его длина равна половине основания $AD$.

Поскольку $AD$ — большее основание, то и соответствующий ему отрезок средней линии $KN$ будет большим. Следовательно, $KN = 35$ см и $MK = 11$ см.

Найдем длины оснований трапеции:

$BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 11 = 22$ см.

$AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Для нахождения углов трапеции опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{70 - 22}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AB = 48$ см и катет $AH = 24$ см. Мы можем найти угол $A$ трапеции, который является одним из острых углов этого треугольника.

Используем определение косинуса угла:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, следовательно:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

И так как трапеция равнобедренная:

$\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$.

987 Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр (высоту) $BH$ к основанию $AD$. По условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка, больший из которых равен 7 см.

Для решения задачи проведем еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

Рассмотрим получившиеся фигуры:

• Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции) и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$ (как высоты). Следовательно, $HK = BC$.
• Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а также высоты равны ($BH = CK$). Таким образом, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = DK$.

Высота $BH$ делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Сравним их длины.Отрезок $HD$ можно представить в виде суммы $HD = HK + DK$. Заменив $HK$ на $BC$ и $DK$ на $AH$, получаем:

$HD = BC + AH$

Поскольку $BC$ (длина меньшего основания) — это положительная величина, очевидно, что $HD > AH$. Следовательно, $HD$ — это больший из двух отрезков, на которые высота делит основание $AD$.

По условию задачи, длина этого большего отрезка равна 7 см. Таким образом, $HD = 7$ см.

Теперь найдем среднюю линию трапеции. Обозначим ее $M$. Формула для вычисления средней линии:

$M = \frac{AD + BC}{2}$

Мы можем выразить длину основания $AD$ через его части: $AD = AH + HD$. Подставим это в формулу средней линии:

$M = \frac{(AH + HD) + BC}{2} = \frac{(AH + BC) + HD}{2}$

Ранее мы установили, что $HD = AH + BC$. Подставим $HD$ вместо суммы $(AH + BC)$ в числитель:

$M = \frac{HD + HD}{2} = \frac{2 \cdot HD}{2} = HD$

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренной трапеции длина большего отрезка, отсекаемого высотой от большего основания, равна длине средней линии.

Поскольку $HD = 7$ см, то и средняя линия трапеции равна 7 см.

Ответ: 7 см.

1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.

В физике векторными называют величины, которые характеризуются не только своим числовым значением (модулем), но и направлением в пространстве. В отличие от них, скалярные величины (например, масса, температура, энергия) имеют только числовое значение. Ниже приведены примеры векторных величин из курса физики.

Перемещение
Это вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки. Он характеризует изменение положения тела. Если тело переместилось из точки А в точку В, то вектор перемещения $\vec{s}$ будет направлен из А в В. Перемещение важно отличать от пути — скалярной величины, равной длине траектории.
Ответ: Перемещение.

Скорость
Это векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения тела в данный момент времени. Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории движения. Он определяется как производная радиус-вектора $\vec{r}$ по времени $t$: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$.
Ответ: Скорость.

Ускорение
Это вектор, который показывает, как быстро изменяется вектор скорости тела. Ускорение $\vec{a}$ характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению. Согласно определению, это производная вектора скорости $\vec{v}$ по времени: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$.
Ответ: Ускорение.

Сила
Это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел. Действие силы характеризуется ее модулем, направлением и точкой приложения. Согласно второму закону Ньютона, сила $\vec{F}$ является причиной ускорения $\vec{a}$ тела массой $m$: $\vec{F} = m\vec{a}$.
Ответ: Сила.

Импульс (количество движения)
Это векторная физическая величина, равная произведению массы тела $m$ на его скорость $\vec{v}$. Направление вектора импульса $\vec{p}$ всегда совпадает с направлением вектора скорости. Формула для импульса: $\vec{p} = m\vec{v}$.
Ответ: Импульс.

Напряженность электрического поля
Это векторная силовая характеристика электрического поля. Она равна отношению силы $\vec{F}$, с которой поле действует на помещенный в данную точку пробный положительный заряд $q_0$, к величине этого заряда. Вектор напряженности $\vec{E}$ направлен так же, как и сила, действующая на положительный заряд. Формула: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$.
Ответ: Напряженность электрического поля.

Индукция магнитного поля
Это векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля. Она определяет силу, действующую на движущиеся заряды и тела, обладающие магнитным моментом. Направление вектора магнитной индукции $\vec{B}$ можно определить, например, по направлению силы Лоренца $\vec{F}_L$, действующей на заряд $q$, движущийся со скоростью $\vec{v}$: $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $\times$ — знак векторного произведения.
Ответ: Индукция магнитного поля.

2 Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.

Дайте определение вектора.

Вектором в геометрии называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Вектор представляет собой величину, которая характеризуется двумя основными свойствами:
1. Модуль (или длина) — числовое значение, соответствующее длине отрезка. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.
2. Направление — указывает ориентацию вектора в пространстве.

Вектор, у которого начало находится в точке $A$, а конец — в точке $B$, обозначается как $\vec{AB}$. Также векторы часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.

Объясните, какой вектор называется нулевым.

Нулевым вектором (или нуль-вектором) называется вектор, у которого точка начала совпадает с точкой конца. Такой вектор можно представить как точку. Например, если начало и конец вектора находятся в одной и той же точке $A$, то вектор $\vec{AA}$ является нулевым.

Нулевой вектор обладает следующими свойствами:
- Его длина (модуль) равна нулю. Обозначается: $|\vec{0}| = 0$.
- Его направление не определено. Нулевой вектор — единственный вектор, не имеющий направления.

Нулевой вектор обозначается символом $\vec{0}$. В операциях с векторами он играет роль аддитивной единицы (аналогично числу 0 в арифметике), то есть при сложении с любым вектором $\vec{a}$ он не изменяет его: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Ответ: Нулевым называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.

3 Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

Что называется длиной ненулевого вектора?

Длиной, или модулем, ненулевого вектора называется длина отрезка, который его изображает. Длина вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\vec{AB}$, то его длина $|\vec{AB}|$ равна длине отрезка $AB$. Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе координат, то его длина вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат. Для вектора на плоскости с координатами $\vec{a} = \{x; y\}$ его длина равна $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Для вектора в пространстве с координатами $\vec{a} = \{x; y; z\}$ его длина равна $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Ответ: Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка, который его изображает.

Чему равна длина нулевого вектора?

Нулевой вектор, обозначаемый как $\vec{0}$, — это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Например, вектор $\vec{AA}$. Поскольку расстояние между его началом и концом равно нулю, его длина по определению также равна нулю: $|\vec{0}| = 0$. Это также следует из формулы для вычисления длины через координаты, так как у нулевого вектора все координаты равны нулю (например, $\vec{0} = \{0; 0\}$). При подстановке в формулу получаем $|\vec{0}| = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$.

Ответ: Длина нулевого вектора равна нулю.

4 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы а и b и противоположно направленные векторы с и d.

Какие векторы называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы, в свою очередь, делятся на два типа:

• Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, которые имеют противоположные направления. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Алгебраически, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое действительное число $k \neq 0$, что выполняется равенство: $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

• Если коэффициент $k > 0$, векторы сонаправлены.
• Если коэффициент $k < 0$, векторы противоположно направлены.

Ответ: Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Изобразите на рисунке сонаправленные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и противоположно направленные векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

На рисунке ниже представлены примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Ответ: Рисунок, изображающий сонаправленные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и противоположно направленные векторы $\vec{c}$, $\vec{d}$, представлен выше.

5 Дайте определение равных векторов.

Два ненулевых вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину (модуль).

Более формально, для равенства двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

• Векторы сонаправлены, то есть направлены в одну сторону. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Сонаправленность также означает, что векторы коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой).
• Длины (модули) векторов равны. Это обозначается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Таким образом, равные векторы — это, по сути, один и тот же вектор, который может быть отложен от разных точек пространства.

Любой нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают, а длина равна нулю) по определению считается равным любому другому нулевому вектору.

Равенство векторов в координатах

Если векторы заданы своими координатами, то они равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ в трехмерном пространстве, равенство $\vec{a} = \vec{b}$ эквивалентно выполнению системы уравнений:

$x_a = x_b$

$y_a = y_b$

$z_a = z_b$

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения, равенство векторов означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса. Если отложить два равных вектора от одной и той же точки, то они полностью совпадут. Если вектор $\vec{AB}$ (с началом в точке $A$ и концом в точке $B$) равен вектору $\vec{CD}$, то это означает, что фигура $ABDC$ является параллелограммом (или точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой).

Ответ: Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и одинаковую длину (модуль). В координатах это означает, что их соответствующие компоненты равны.