Страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

963 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О отложите векторы, равные 2р и 12q.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений, основанных на правилах операций с векторами.

Шаг 1: Начальное построение векторов и точки.
Сначала начертим на плоскости два неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Согласно условию, их начала не должны совпадать. Например, вектор $\vec{p}$ может быть задан отрезком AB, а вектор $\vec{q}$ — отрезком CD, где точки A и C различны, а прямые AB и CD не параллельны. Затем на плоскости отмечаем произвольную точку O, которая будет служить началом для новых векторов.

Шаг 2: Построение вектора, равного $2\vec{p}$.
Чтобы отложить от точки O вектор, равный $2\vec{p}$, нужно построить новый вектор, который удовлетворяет двум условиям:

• Он сонаправлен с вектором $\vec{p}$ (то есть имеет то же направление).
• Его длина (модуль) в два раза больше длины вектора $\vec{p}$.

Построение выполняется следующим образом:
1. Через точку O проводим прямую, параллельную вектору $\vec{p}$.
2. На этой прямой от точки O в том же направлении, что и у вектора $\vec{p}$, откладываем отрезок, длина которого равна $2 \cdot |\vec{p}|$.
3. Конец этого отрезка обозначим точкой M. Полученный вектор $\vec{OM}$ является искомым, так как $\vec{OM}$ сонаправлен с $\vec{p}$ и $|\vec{OM}| = 2|\vec{p}|$. Следовательно, $\vec{OM} = 2\vec{p}$.

Шаг 3: Построение вектора, равного $\frac{1}{2}\vec{q}$.
Аналогично, чтобы отложить от точки O вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{q}$, нужно построить вектор, который:

• Сонаправлен с вектором $\vec{q}$.
• Его длина равна половине длины вектора $\vec{q}$.

Построение выполняется так:
1. Через точку O проводим прямую, параллельную вектору $\vec{q}$.
2. На этой прямой от точки O в том же направлении, что и у вектора $\vec{q}$, откладываем отрезок, длина которого равна $\frac{1}{2} \cdot |\vec{q}|$.
3. Конец этого отрезка обозначим точкой N. Полученный вектор $\vec{ON}$ является искомым, так как $\vec{ON}$ сонаправлен с $\vec{q}$ и $|\vec{ON}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$. Следовательно, $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{q}$.

В результате этих построений от точки O отложены два вектора, $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$, которые соответственно равны $2\vec{p}$ и $\frac{1}{2}\vec{q}$.

Ответ: Построение выполнено. От точки O отложены два вектора: вектор $\vec{OM} = 2\vec{p}$, который сонаправлен вектору $\vec{p}$ и имеет вдвое большую длину, и вектор $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{q}$, который сонаправлен вектору $\vec{q}$ и имеет длину, равную половине его длины. Построение осуществляется с помощью параллельного переноса направлений исходных векторов в точку O и соответствующего масштабирования их длин.

964 Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: а) x + 2у; б) 12y + x; в) 3х + 12у; г) 112x - 3y; д) 0x + 4y; e) −2x + 0y. Выполните задания а) — e) для двух коллинеарных ненулевых векторов х и у.

Часть 1: Построение для неколлинеарных векторов

Для выполнения построений сначала выберем и начертим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$, отложенных от общего начала O. Пусть $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$. Векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ не лежат на одной прямой.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$
1. Строим вектор $2\vec{y}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{y}$ и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{y}$.
2. Для сложения векторов используем правило треугольника (или параллелограмма). От конца вектора $\vec{x}$ (точки A) откладываем вектор, равный построенному вектору $2\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке C.
3. Искомый вектор суммы $\vec{x} + 2\vec{y}$ — это вектор $\vec{OC}$, соединяющий начало первого вектора (точка O) с концом второго (точка C).
Ответ: Вектор $\vec{OC}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$
1. Данное выражение по закону коммутативности сложения равно $\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.
2. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{y}$.
3. От конца вектора $\vec{x}$ (точки A) откладываем вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке D.
4. Искомый вектор суммы $\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ — это вектор $\vec{OD}$.
Ответ: Вектор $\vec{OD}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$
1. Строим вектор $3\vec{x}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{x}$, и его длина в три раза больше длины $\vec{x}$. Отложим его от точки O, получив вектор $\vec{OE}$.
2. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна половине длины $\vec{y}$.
3. От конца вектора $3\vec{x}$ (точки E) откладываем вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке F.
4. Искомый вектор суммы $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ — это вектор $\vec{OF}$.
Ответ: Вектор $\vec{OF}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$
1. Данное выражение можно записать как $\frac{3}{2}\vec{x} + (-3\vec{y})$.
2. Строим вектор $\frac{3}{2}\vec{x}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{x}$, и его длина в 1,5 раза больше длины $\vec{x}$. Отложим его от точки O, получив вектор $\vec{OG}$.
3. Строим вектор $-3\vec{y}$. Он направлен противоположно вектору $\vec{y}$, и его длина в три раза больше длины $\vec{y}$.
4. От конца вектора $\frac{3}{2}\vec{x}$ (точки G) откладываем вектор, равный $-3\vec{y}$. Пусть его конец будет в точке H.
5. Искомый вектор разности $\frac{3}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$ — это вектор $\vec{OH}$.
Ответ: Вектор $\vec{OH}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$
1. Выражение упрощается до $4\vec{y}$, так как $0\vec{x}$ — это нулевой вектор, который не влияет на сумму.
2. Строим вектор $4\vec{y}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{y}$, и его длина в четыре раза больше длины $\vec{y}$.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $4\vec{y}$.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$
1. Выражение упрощается до $-2\vec{x}$, так как $0\vec{y}$ — это нулевой вектор.
2. Строим вектор $-2\vec{x}$. Он направлен противоположно вектору $\vec{x}$, и его длина в два раза больше длины $\vec{x}$.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $-2\vec{x}$.

Часть 2: Построение для коллинеарных ненулевых векторов

Выберем два коллинеарных ненулевых вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для определенности будем считать, что они отложены от общего начала O и лежат на одной прямой.
Важный вывод: любая линейная комбинация коллинеарных векторов $a\vec{x} + b\vec{y}$ является вектором, коллинеарным исходным векторам. Все результирующие векторы будут лежать на той же прямой, что и $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$
Вектор $2\vec{y}$ коллинеарен $\vec{y}$ и, следовательно, $\vec{x}$. Сложение коллинеарных векторов дает коллинеарный им вектор. Его направление и длина зависят от исходного направления $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если они сонаправлены, то $\vec{x}$ и $2\vec{y}$ также сонаправлены, и их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|\vec{x}| + 2|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $|\vec{x}| + 2|\vec{y}|$.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$
Аналогично пункту а), результирующий вектор будет коллинеарен $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то и $\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ сонаправлены. Их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$
Результирующий вектор коллинеарен $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то и $3\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ сонаправлены. Их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|3\vec{x}| + |\frac{1}{2}\vec{y}| = 3|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $3|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$
Это сложение векторов $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $(-3\vec{y})$. Вектор $-3\vec{y}$ коллинеарен $\vec{y}$, но направлен в противоположную сторону. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то мы складываем два противоположно направленных коллинеарных вектора. Результирующий вектор будет коллинеарен исходным. Его направление совпадет с направлением вектора с большей длиной ($\frac{3}{2}\vec{x}$ или $-3\vec{y}$), а длина будет равна разности их длин, то есть $\left| |\frac{3}{2}\vec{x}| - |-3\vec{y}| \right| = \left| \frac{3}{2}|\vec{x}| - 3|\vec{y}| \right|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Его направление и модуль зависят от соотношения модулей векторов $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $3\vec{y}$.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$
Результатом является вектор $4\vec{y}$. Этот вектор коллинеарен вектору $\vec{y}$ (и, следовательно, вектору $\vec{x}$). Он сонаправлен с $\vec{y}$, и его длина в 4 раза больше длины $\vec{y}$.
Ответ: Вектор $4\vec{y}$, который коллинеарен исходным векторам.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$
Результатом является вектор $-2\vec{x}$. Этот вектор коллинеарен вектору $\vec{x}$, но направлен в противоположную сторону. Его длина в 2 раза больше длины $\vec{x}$.
Ответ: Вектор $-2\vec{x}$, который коллинеарен исходным векторам.

965 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают. Постройте векторы m = 2p - 12q, n = p + 3q, l = −2p − 12q, s = 23q − p.

Для решения задачи сначала необходимо начертить на плоскости два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, лежащие на непараллельных прямых. По условию, их начала не должны совпадать.

Далее, для построения каждого из заданных векторов мы будем использовать правило сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма). Наиболее удобным в данном случае является правило треугольника. Оно заключается в том, что для сложения двух векторов второй вектор откладывается от конца первого, а их сумма (результирующий вектор) направлена из начала первого вектора в конец второго.

$\vec{m} = 2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Представим данный вектор как сумму векторов $2\vec{p}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{q})$.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $O_1$ — это будет начало вектора $\vec{m}$.
2. От точки $O_1$ отложим вектор $\vec{O_1A} = 2\vec{p}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{p}$, а его длина в два раза больше длины вектора $\vec{p}$: $|\vec{O_1A}| = 2|\vec{p}|$.
3. От точки $A$ (конца вектора $\vec{O_1A}$) отложим вектор $\vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{q}$. Этот вектор будет противонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина будет равна половине длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{AB}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$.
4. Соединим начальную точку $O_1$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{O_1B}$ и есть искомый вектор $\vec{m}$.

Ответ: Вектор $\vec{m}$ — это вектор, соединяющий начальную точку первого слагаемого ($2\vec{p}$) с конечной точкой второго слагаемого ($-\frac{1}{2}\vec{q}$) при их последовательном откладывании.

$\vec{n} = \vec{p} + 3\vec{q}$

Данный вектор является суммой векторов $\vec{p}$ и $3\vec{q}$.

1. Выберем произвольную точку $O_2$.
2. От точки $O_2$ отложим вектор $\vec{O_2C} = \vec{p}$. Он сонаправлен исходному вектору $\vec{p}$ и равен ему по длине.
3. От точки $C$ отложим вектор $\vec{CD} = 3\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина в три раза больше длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{CD}| = 3|\vec{q}|$.
4. Соединим точку $O_2$ с точкой $D$. Вектор $\vec{O_2D}$ является искомым вектором $\vec{n}$.

Ответ: Вектор $\vec{n}$ построен как замыкающая сторона треугольника, образованного последовательно отложенными векторами $\vec{p}$ и $3\vec{q}$.

$\vec{l} = -2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Представим вектор $\vec{l}$ как сумму векторов $(-2\vec{p})$ и $(-\frac{1}{2}\vec{q})$.

1. Выберем произвольную точку $O_3$.
2. От точки $O_3$ отложим вектор $\vec{O_3E} = -2\vec{p}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{p}$, а его длина вдвое больше длины вектора $\vec{p}$: $|\vec{O_3E}| = 2|\vec{p}|$.
3. От точки $E$ отложим вектор $\vec{EF} = -\frac{1}{2}\vec{q}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{EF}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$.
4. Соединим точку $O_3$ с точкой $F$. Вектор $\vec{O_3F}$ является искомым вектором $\vec{l}$.

Ответ: Вектор $\vec{l}$ построен как сумма векторов $-2\vec{p}$ и $-\frac{1}{2}\vec{q}$ по правилу треугольника.

$\vec{s} = \frac{2}{3}\vec{q} - \vec{p}$

Представим вектор $\vec{s}$ как сумму векторов $\frac{2}{3}\vec{q}$ и $(-\vec{p})$.

1. Выберем произвольную точку $O_4$.
2. От точки $O_4$ отложим вектор $\vec{O_4G} = \frac{2}{3}\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина составляет две трети от длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{O_4G}| = \frac{2}{3}|\vec{q}|$. Для точного построения можно, например, с помощью теоремы Фалеса разделить отрезок, соответствующий вектору $\vec{q}$, на 3 равные части и взять 2 такие части.
3. От точки $G$ отложим вектор $\vec{GH} = -\vec{p}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{p}$ и имеет ту же длину: $|\vec{GH}| = |\vec{p}|$.
4. Соединим точку $O_4$ с точкой $H$. Вектор $\vec{O_4H}$ является искомым вектором $\vec{s}$.

Ответ: Вектор $\vec{s}$ построен как замыкающая сторона треугольника, образованного последовательно отложенными векторами $\frac{2}{3}\vec{q}$ и $-\vec{p}$.

966 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и с. Постройте векторы: а) 2а + 3b − 4с; б) 12a − b + 13c.

Для решения задачи сначала необходимо выбрать три попарно неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Это означает, что ни один из векторов не должен быть параллелен другому. Мы можем изобразить их исходящими из одной точки (начала координат O), имеющими разную длину и направленными в разные стороны.

а) Построить вектор $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$.

Построение выполняется поэтапно, используя правила умножения вектора на число и сложения векторов (правило многоугольника).

1. Построение вектора $2\vec{a}$: это вектор, сонаправленный с вектором $\vec{a}$ (имеющий то же направление), но его длина в два раза больше длины вектора $\vec{a}$. Отложим его от произвольной точки O. Пусть конец этого вектора будет в точке A. Таким образом, $\vec{OA} = 2\vec{a}$.

2. Построение вектора $3\vec{b}$: это вектор, сонаправленный с вектором $\vec{b}$, но его длина в три раза больше. Отложим этот вектор от точки A (конца предыдущего вектора). Пусть его конец будет в точке B. Таким образом, $\vec{AB} = 3\vec{b}$.

3. Построение вектора $-4\vec{c}$: это вектор, противоположно направленный вектору $\vec{c}$ (направлен в обратную сторону), а его длина в четыре раза больше длины вектора $\vec{c}$. Отложим этот вектор от точки B (конца предыдущего вектора). Пусть его конец будет в точке C. Таким образом, $\vec{BC} = -4\vec{c}$.

4. Построение итогового вектора $\vec{d}$: согласно правилу многоугольника, итоговый вектор $\vec{d}$ соединяет начальную точку первого вектора (O) с конечной точкой последнего вектора (C). То есть, $\vec{d} = \vec{OC}$.

Ответ: Вектор $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$ строится последовательным откладыванием векторов $2\vec{a}$, $3\vec{b}$ и $-4\vec{c}$ друг за другом (начало следующего вектора в конце предыдущего). Итоговый вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.

б) Построить вектор $\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.

Построение аналогично предыдущему пункту.

1. Построение вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$: это вектор, сонаправленный с $\vec{a}$, но его длина равна половине длины вектора $\vec{a}$. Отложим его от произвольной точки O. Пусть его конец будет в точке P. Таким образом, $\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

2. Построение вектора $-\vec{b}$: это вектор, равный по длине вектору $\vec{b}$, но направленный в противоположную сторону. Отложим его от точки P. Пусть его конец будет в точке Q. Таким образом, $\vec{PQ} = -\vec{b}$.

3. Построение вектора $\frac{1}{3}\vec{c}$: это вектор, сонаправленный с $\vec{c}$, но его длина равна одной трети длины вектора $\vec{c}$. Отложим его от точки Q. Пусть его конец будет в точке R. Таким образом, $\vec{QR} = \frac{1}{3}\vec{c}$.

4. Построение итогового вектора $\vec{e}$: итоговый вектор $\vec{e}$ соединяет начальную точку O с конечной точкой R. То есть, $\vec{e} = \vec{OR}$.

Ответ: Вектор $\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$ строится путем последовательного откладывания векторов $\frac{1}{2}\vec{a}$, $-\vec{b}$ и $\frac{1}{3}\vec{c}$ друг за другом. Искомый вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.

967 Дан вектор р = 3а, где а ≠ 0. Как направлен каждый из векторов а, −а, 12a, −2а, 6а по отношению к вектору p? Выразите длины этих векторов через | p |.

По условию дан вектор $\vec{p} = 3\vec{a}$, где $\vec{a} \neq \vec{0}$. Это означает, что все рассматриваемые векторы коллинеарны вектору $\vec{p}$, так как они являются результатом умножения вектора $\vec{a}$ на некоторое число.
Для определения направления и длины каждого вектора относительно $\vec{p}$, сначала выразим $\vec{a}$ через $\vec{p}$. Из исходного равенства $\vec{p} = 3\vec{a}$ получаем: $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$.
Далее будем использовать общее правило: для вектора $\vec{b} = k \cdot \vec{p}$, его направление по отношению к $\vec{p}$ определяется знаком коэффициента $k$. Если $k > 0$, векторы сонаправлены. Если $k < 0$, векторы направлены противоположно. Длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{p}|$.

$\vec{a}$

Выразим $\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\vec{a} = \frac{1}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=\frac{1}{3}$ является положительным, следовательно, вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|\vec{a}| = |\frac{1}{3}\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$-\vec{a}$

Выразим $-\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-\vec{a} = -(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{1}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=-\frac{1}{3}$ является отрицательным, следовательно, вектор $-\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|-\vec{a}| = |-\frac{1}{3}\vec{p}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$, его длина $|-\vec{a}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|$.

$\frac{1}{2}\vec{a}$

Выразим $\frac{1}{2}\vec{a}$ через $\vec{p}$: $\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\vec{p}) = \frac{1}{6}\vec{p}$.
Коэффициент $k=\frac{1}{6}$ является положительным, следовательно, вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|\frac{1}{2}\vec{a}| = |\frac{1}{6}\vec{p}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|\frac{1}{2}\vec{a}| = \frac{1}{6}|\vec{p}|$.

$-2\vec{a}$

Выразим $-2\vec{a}$ через $\vec{p}$: $-2\vec{a} = -2(\frac{1}{3}\vec{p}) = -\frac{2}{3}\vec{p}$.
Коэффициент $k=-\frac{2}{3}$ является отрицательным, следовательно, вектор $-2\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|-2\vec{a}| = |-\frac{2}{3}\vec{p}| = |-\frac{2}{3}| \cdot |\vec{p}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $-2\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{p}$, его длина $|-2\vec{a}| = \frac{2}{3}|\vec{p}|$.

$6\vec{a}$

Выразим $6\vec{a}$ через $\vec{p}$: $6\vec{a} = 6(\frac{1}{3}\vec{p}) = 2\vec{p}$.
Коэффициент $k=2$ является положительным, следовательно, вектор $6\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$.
Длина вектора: $|6\vec{a}| = |2\vec{p}| = 2|\vec{p}|$.
Ответ: Вектор $6\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{p}$, его длина $|6\vec{a}| = 2|\vec{p}|$.

968 Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а) 1 ⋅ а = а; б) (−1) ⋅ а = −а.

а)

Для доказательства равенства $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ мы воспользуемся определением умножения вектора на скаляр (число). Согласно этому определению, произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$, который удовлетворяет двум условиям:

1. Его длина (модуль) равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

2. Он сонаправлен вектору $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $k < 0$.

Рассмотрим данный случай, когда скаляр $k=1$.

Проверим длину вектора $1 \cdot \vec{a}$. По определению, она равна $|1| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|1|=1$, то длина результирующего вектора равна $1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длина вектора $1 \cdot \vec{a}$ совпадает с длиной вектора $\vec{a}$.

Проверим направление вектора $1 \cdot \vec{a}$. Так как скаляр $k=1$ является положительным числом ($1 > 0$), направление вектора $1 \cdot \vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$.

Поскольку вектор $1 \cdot \vec{a}$ имеет ту же длину и то же направление, что и вектор $\vec{a}$, то эти векторы равны по определению равенства векторов. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, равенство $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$ также очевидно выполняется.

Ответ: Равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б)

Для доказательства равенства $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ мы сравним вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ с вектором $-\vec{a}$ (противоположным вектору $\vec{a}$).

По определению, вектор $-\vec{a}$ — это вектор, который имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. То есть, $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ и направление вектора $-\vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$.

Теперь рассмотрим вектор $(-1) \cdot \vec{a}$, используя определение умножения вектора на скаляр, где $k=-1$.

Проверим длину вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. Она равна $|-1| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|-1|=1$, то длина результирующего вектора равна $1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длина вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ совпадает с длиной вектора $\vec{a}$ (и, следовательно, с длиной вектора $-\vec{a}$).

Проверим направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$. Так как скаляр $k=-1$ является отрицательным числом ($-1 < 0$), направление вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$.

Итак, мы установили, что вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ имеет ту же длину, что и вектор $\vec{a}$, и направлен в противоположную сторону. Это в точности соответствует определению противоположного вектора $-\vec{a}$. Следовательно, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$. Если $\vec{a}$ — нулевой вектор, равенство $(-1) \cdot \vec{0} = -\vec{0}$ (что равносильно $\vec{0} = \vec{0}$) также выполняется.

Ответ: Равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.

969 Пусть х = m + n, у = m − n. Выразите через m и n векторы: а) 2х − 2у; б) 2x + 12y; в) −x - 13y.

Дано: $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$.

а) Чтобы выразить вектор $2\vec{x} - 2\vec{y}$ через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, подставим в выражение данные нам разложения векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, умножив каждый вектор в них на соответствующий коэффициент:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2\vec{m} - 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0 \cdot \vec{m} + 4\vec{n} = 4\vec{n}$

Ответ: $4\vec{n}$.

б) Аналогично поступим с выражением $2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$. Подставим $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$:

$2\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}) = (\frac{4}{2}\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (\frac{4}{2}\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}) = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

Ответ: $\frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$.

в) Выразим вектор $-\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Подставляем известные выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$-\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y} = -(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$-\vec{m} - \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}$

Приведем подобные слагаемые:

$(-\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n}) = (-\frac{3}{3}\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\frac{3}{3}\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

Ответ: $-\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.

970 В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и BС = b.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Введем базисные векторы, заданные в условии: $\vec{DC} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Используем свойства векторов в параллелограмме. Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны по длине, следовательно, векторы, построенные на этих сторонах, равны:

$\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}$

Точка $E$ является серединой стороны $AD$. Это означает, что вектор $\vec{ED}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:

$\vec{ED} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Точка $G$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BG}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{EC}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), представив его как сумму векторов, идущих из точки $E$ в точку $C$ через точку $D$:

$\vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC}$

Теперь подставим известные нам выражения для векторов $\vec{ED}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{a}$

Для удобства поменяем слагаемые местами:

$\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{AG}$

Аналогично выразим вектор $\vec{AG}$. Представим его как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $G$ через точку $B$:

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG}$

Подставим известные нам выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BG}$:

$\vec{AG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

971 Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы AM и МD через векторы а = AD и b = AB.

Выражение вектора $\vec{AM}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AM}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По условию задачи нам даны векторы $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{a} = \vec{AD}$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ и делит её в отношении $BM : MC = 3 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от длины всей стороны $BC$. Так как векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то можно записать:

$\vec{BM} = \frac{3}{4}\vec{BC}$

В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{BC} = \vec{a}$.

Теперь подставим это в выражение для вектора $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \frac{3}{4}\vec{a}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Выражение вектора $\vec{MD}$

Вектор $\vec{MD}$ можно также выразить с помощью правила сложения векторов, рассмотрев путь из точки $M$ в точку $D$ через точку $C$:

$\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD}$

Из отношения $BM : MC = 3 : 1$ следует, что длина отрезка $MC$ составляет $\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ от длины стороны $BC$. Векторы $\vec{MC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены.

$\vec{MC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$

Как мы уже установили, $\vec{BC} = \vec{a}$, поэтому:

$\vec{MC} = \frac{1}{4}\vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{DC} = \vec{b}$. Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, поэтому:

$\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{b}$

Подставим найденные выражения для $\vec{MC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{1}{4}\vec{a} + (-\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$

Для проверки можно использовать другой способ: выразить $\vec{MD}$ как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AM}$ (по правилу треугольника для векторов с общим началом $A$).

$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$

Подставим известные векторы: $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

$\vec{MD} = \vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a} = (1 - \frac{3}{4})\vec{a} - \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{MD} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.

972 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = 12MD. Выразите через векторы x = AD, y = AB следующие векторы:

а) АС, АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА;

б) AM, МС, ВМ, ОМ.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ на стороне $AD$ такова, что $AM = \frac{1}{2}MD$. Векторы $\vec{x} = \vec{AD}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$.

Прежде всего, определим основные векторные соотношения в параллелограмме:

• Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{y}$.
• Диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ и $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
• Из условия $AM = \frac{1}{2}MD$ следует, что длина отрезка $AM$ составляет одну треть длины отрезка $AD$ ($AD = AM + MD = AM + 2AM = 3AM$). Так как векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, то $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

а)

$\vec{AC}$: По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{y} + \vec{x}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{AO}$: Точка $O$ — середина диагонали $AC$, следовательно: $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{CO}$: Вектор $\vec{CO}$ равен вектору $\vec{OA}$ и противоположен вектору $\vec{AO}$. $\vec{CO} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{CO} = -\frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{DO}$: Сначала найдем вектор диагонали $\vec{BD}$. По правилу треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{y} + \vec{x}$. Точка $O$ — середина $BD$, поэтому $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$. Вектор $\vec{DO}$ противоположен вектору $\vec{BO}$: $\vec{DO} = -\vec{BO} = -\frac{1}{2}(\vec{x} - \vec{y})$.
Ответ: $\vec{DO} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{AD} + \vec{BC}$: Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{x}$. Тогда сумма векторов: $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{x} = 2\vec{x}$.
Ответ: $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{x}$.

$\vec{AD} + \vec{CO}$: Используем ранее полученные выражения: $\vec{AD} + \vec{CO} = \vec{x} + (-\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})) = \vec{x} - \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\vec{AD} + \vec{CO} = \frac{1}{2}\vec{x} - \frac{1}{2}\vec{y}$.

$\vec{CO} + \vec{OA}$: По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{CO} + \vec{OA} = \vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$: $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{x} + \vec{y})$.
Ответ: $\vec{CO} + \vec{OA} = -\vec{x} - \vec{y}$.

б)

$\vec{AM}$: Как было установлено ранее из условия $AM = \frac{1}{2}MD$, вектор $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$.

$\vec{MC}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{MC} = \vec{MD} + \vec{DC}$. Мы знаем, что $\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM} = \vec{x} - \frac{1}{3}\vec{x} = \frac{2}{3}\vec{x}$, а $\vec{DC} = \vec{y}$. Тогда $\vec{MC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.
Ответ: $\vec{MC} = \frac{2}{3}\vec{x} + \vec{y}$.

$\vec{BM}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$. Мы знаем, что $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{y}$ и $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$. Тогда $\vec{BM} = -\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x}$.
Ответ: $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{x} - \vec{y}$.

$\vec{OM}$: Выразим вектор по правилу треугольника: $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM}$. Мы знаем, что $\vec{OA} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$ и $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{x}$. Тогда $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) + \frac{1}{3}\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} + \frac{1}{3}\vec{x} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6})\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} = \frac{5}{6}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.
Ответ: $\vec{OM} = \frac{5}{6}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.