Номер 966, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 92. Применение векторов к решению задач - номер 966, страница 241.

Условие.

966 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и с. Постройте векторы: а) 2а + 3b − 4с; б) 12a − b + 13c.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи сначала необходимо выбрать три попарно неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Это означает, что ни один из векторов не должен быть параллелен другому. Мы можем изобразить их исходящими из одной точки (начала координат O), имеющими разную длину и направленными в разные стороны.

а) Построить вектор $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$.

Построение выполняется поэтапно, используя правила умножения вектора на число и сложения векторов (правило многоугольника).

1. Построение вектора $2\vec{a}$: это вектор, сонаправленный с вектором $\vec{a}$ (имеющий то же направление), но его длина в два раза больше длины вектора $\vec{a}$. Отложим его от произвольной точки O. Пусть конец этого вектора будет в точке A. Таким образом, $\vec{OA} = 2\vec{a}$.

2. Построение вектора $3\vec{b}$: это вектор, сонаправленный с вектором $\vec{b}$, но его длина в три раза больше. Отложим этот вектор от точки A (конца предыдущего вектора). Пусть его конец будет в точке B. Таким образом, $\vec{AB} = 3\vec{b}$.

3. Построение вектора $-4\vec{c}$: это вектор, противоположно направленный вектору $\vec{c}$ (направлен в обратную сторону), а его длина в четыре раза больше длины вектора $\vec{c}$. Отложим этот вектор от точки B (конца предыдущего вектора). Пусть его конец будет в точке C. Таким образом, $\vec{BC} = -4\vec{c}$.

4. Построение итогового вектора $\vec{d}$: согласно правилу многоугольника, итоговый вектор $\vec{d}$ соединяет начальную точку первого вектора (O) с конечной точкой последнего вектора (C). То есть, $\vec{d} = \vec{OC}$.

Ответ: Вектор $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$ строится последовательным откладыванием векторов $2\vec{a}$, $3\vec{b}$ и $-4\vec{c}$ друг за другом (начало следующего вектора в конце предыдущего). Итоговый вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.

б) Построить вектор $\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.

Построение аналогично предыдущему пункту.

1. Построение вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$: это вектор, сонаправленный с $\vec{a}$, но его длина равна половине длины вектора $\vec{a}$. Отложим его от произвольной точки O. Пусть его конец будет в точке P. Таким образом, $\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

2. Построение вектора $-\vec{b}$: это вектор, равный по длине вектору $\vec{b}$, но направленный в противоположную сторону. Отложим его от точки P. Пусть его конец будет в точке Q. Таким образом, $\vec{PQ} = -\vec{b}$.

3. Построение вектора $\frac{1}{3}\vec{c}$: это вектор, сонаправленный с $\vec{c}$, но его длина равна одной трети длины вектора $\vec{c}$. Отложим его от точки Q. Пусть его конец будет в точке R. Таким образом, $\vec{QR} = \frac{1}{3}\vec{c}$.

4. Построение итогового вектора $\vec{e}$: итоговый вектор $\vec{e}$ соединяет начальную точку O с конечной точкой R. То есть, $\vec{e} = \vec{OR}$.

Ответ: Вектор $\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$ строится путем последовательного откладывания векторов $\frac{1}{2}\vec{a}$, $-\vec{b}$ и $\frac{1}{3}\vec{c}$ друг за другом. Искомый вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.