Номер 961, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 961, страница 236.

961 Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство | х − у | ≤ | х | + | у |. В каком случае | х − у | = | х | + | у |?

Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\le|\vec{x}|+|\vec{y}|$

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Для его доказательства возведем обе части в квадрат. Поскольку модуль вектора (его длина) является неотрицательной величиной, это преобразование является равносильным, то есть не меняет истинность неравенства.

Квадрат левой части:
$|\vec{x}-\vec{y}|^2 = (\vec{x}-\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y})$ (по определению модуля вектора через скалярное произведение).
Раскрывая скобки, получаем:
$(\vec{x}-\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y}) = \vec{x}\cdot\vec{x} - \vec{x}\cdot\vec{y} - \vec{y}\cdot\vec{x} + \vec{y}\cdot\vec{y} = |\vec{x}|^2 - 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + |\vec{y}|^2$.

Квадрат правой части:
$(|\vec{x}|+|\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$.

Теперь сравним квадраты обеих частей. Исходное неравенство равносильно следующему:
$|\vec{x}|^2 - 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + |\vec{y}|^2 \le |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$:
$-2(\vec{x}\cdot\vec{y}) \le 2|\vec{x}||\vec{y}|$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\vec{x}\cdot\vec{y} \ge -|\vec{x}||\vec{y}|$

Вспомним определение скалярного произведения через угол между векторами: $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.
Подставим это выражение в неравенство:
$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha \ge -|\vec{x}||\vec{y}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, то его модуль равен нулю, и неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Если оба вектора ненулевые, то их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ — положительные числа, и мы можем разделить обе части на произведение $|\vec{x}||\vec{y}|$, не меняя знака неравенства:
$\cos\alpha \ge -1$

Это неравенство верно для любого угла $\alpha$, так как по определению функции косинуса ее значения всегда находятся в диапазоне от -1 до 1.
Поскольку мы пришли к верному утверждению через цепь равносильных преобразований, исходное неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\le|\vec{x}|+|\vec{y}|$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

В каком случае $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$?

Равенство достигается тогда, когда все неравенства в приведенном выше доказательстве обращаются в равенства. Единственным таким местом является неравенство $\cos\alpha \ge -1$.
Следовательно, равенство $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$ будет выполняться тогда и только тогда, когда:
$\cos\alpha = -1$

Это равенство справедливо в следующих случаях:

1. Хотя бы один из векторов, $\vec{x}$ или $\vec{y}$, является нулевым вектором. Если, например, $\vec{y} = \vec{0}$, то $|\vec{x}-\vec{0}|=|\vec{x}|+|\vec{0}|$, что упрощается до верного равенства $|\vec{x}|=|\vec{x}|$. В этом случае понятие угла между векторами не определено, но исходное равенство выполняется.

2. Оба вектора ненулевые. В этом случае равенство $\cos\alpha = -1$ означает, что угол $\alpha$ между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Такие векторы называются противоположно направленными (или антипараллельными). Это значит, что они лежат на одной прямой (или параллельных прямых) и смотрят в противоположные стороны. Например, $\vec{y} = k \cdot \vec{x}$ при $k < 0$.

Геометрически равенство означает, что точка начала одного вектора совпадает с точкой конца другого, и они лежат на одной прямой. Если отложить векторы $\vec{x}$ и $-\vec{y}$ от одной точки, они будут сонаправлены. Длина их суммы $|\vec{x} + (-\vec{y})|$ будет равна сумме их длин $|\vec{x}| + |-\vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Равенство выполняется, если векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ противоположно направлены, или если хотя бы один из этих векторов является нулевым.