Номер 955, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов - номер 955, страница 236.

Условие.

955 Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а = AB и b = АС следующие векторы: а) ВА; б) СВ; в) СВ + ВА.

Решение

а) Векторы ВА и AB — противоположные, поэтому ВА = −AB, или ВА = −a.

б) По правилу треугольника СВ = СА + AB. Но СА = −АС, поэтому

СВ = AB + (−АС) = AB − АС = a − b.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

а) Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ имеют одинаковую длину (модуль), но противоположные направления. Такие векторы называются противоположными. Вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, обозначается как $-\vec{v}$.
Следовательно, можно записать равенство: $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
По условию задачи $\vec{AB} = \vec{a}$, поэтому, подставив это значение, получаем:
$\vec{BA} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BA} = -\vec{a}$.

б) Для выражения вектора $\vec{CB}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим вектор $\vec{CB}$ как сумму двух векторов, идущих из точки C в A и из A в B:
$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
По условию нам даны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{b}$.
Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -\vec{b}$.
Теперь подставим известные выражения для векторов в нашу формулу:
$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

в) Сумму векторов $\vec{CB} + \vec{BA}$ можно найти двумя способами.
Способ 1: Использование правила сложения векторов (правило Шаля).
По этому правилу, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого к концу второго. В нашем случае конец вектора $\vec{CB}$ (точка B) совпадает с началом вектора $\vec{BA}$ (точка B).
Следовательно, $\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$.
Как мы установили в пункте б), $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{b}$, то $\vec{CA} = -\vec{b}$.
Способ 2: Использование результатов из пунктов а) и б).
Из пункта а) мы знаем, что $\vec{BA} = -\vec{a}$.
Из пункта б) мы знаем, что $\vec{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Сложим эти два вектора:
$\vec{CB} + \vec{BA} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} = -\vec{b}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\vec{CB} + \vec{BA} = -\vec{b}$.