Номер 964, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 964, страница 241.

964 Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: а) x + 2у; б) 12y + x; в) 3х + 12у; г) 112x - 3y; д) 0x + 4y; e) −2x + 0y. Выполните задания а) — e) для двух коллинеарных ненулевых векторов х и у.

Часть 1: Построение для неколлинеарных векторов

Для выполнения построений сначала выберем и начертим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$, отложенных от общего начала O. Пусть $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$. Векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ не лежат на одной прямой.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$
1. Строим вектор $2\vec{y}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{y}$ и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{y}$.
2. Для сложения векторов используем правило треугольника (или параллелограмма). От конца вектора $\vec{x}$ (точки A) откладываем вектор, равный построенному вектору $2\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке C.
3. Искомый вектор суммы $\vec{x} + 2\vec{y}$ — это вектор $\vec{OC}$, соединяющий начало первого вектора (точка O) с концом второго (точка C).
Ответ: Вектор $\vec{OC}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$
1. Данное выражение по закону коммутативности сложения равно $\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.
2. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{y}$.
3. От конца вектора $\vec{x}$ (точки A) откладываем вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке D.
4. Искомый вектор суммы $\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ — это вектор $\vec{OD}$.
Ответ: Вектор $\vec{OD}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$
1. Строим вектор $3\vec{x}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{x}$, и его длина в три раза больше длины $\vec{x}$. Отложим его от точки O, получив вектор $\vec{OE}$.
2. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна половине длины $\vec{y}$.
3. От конца вектора $3\vec{x}$ (точки E) откладываем вектор, равный $\frac{1}{2}\vec{y}$. Пусть конец этого вектора будет в точке F.
4. Искомый вектор суммы $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ — это вектор $\vec{OF}$.
Ответ: Вектор $\vec{OF}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$
1. Данное выражение можно записать как $\frac{3}{2}\vec{x} + (-3\vec{y})$.
2. Строим вектор $\frac{3}{2}\vec{x}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{x}$, и его длина в 1,5 раза больше длины $\vec{x}$. Отложим его от точки O, получив вектор $\vec{OG}$.
3. Строим вектор $-3\vec{y}$. Он направлен противоположно вектору $\vec{y}$, и его длина в три раза больше длины $\vec{y}$.
4. От конца вектора $\frac{3}{2}\vec{x}$ (точки G) откладываем вектор, равный $-3\vec{y}$. Пусть его конец будет в точке H.
5. Искомый вектор разности $\frac{3}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$ — это вектор $\vec{OH}$.
Ответ: Вектор $\vec{OH}$, построенный по правилу треугольника, как описано выше.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$
1. Выражение упрощается до $4\vec{y}$, так как $0\vec{x}$ — это нулевой вектор, который не влияет на сумму.
2. Строим вектор $4\vec{y}$. Он сонаправлен с вектором $\vec{y}$, и его длина в четыре раза больше длины $\vec{y}$.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $4\vec{y}$.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$
1. Выражение упрощается до $-2\vec{x}$, так как $0\vec{y}$ — это нулевой вектор.
2. Строим вектор $-2\vec{x}$. Он направлен противоположно вектору $\vec{x}$, и его длина в два раза больше длины $\vec{x}$.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $-2\vec{x}$.

Часть 2: Построение для коллинеарных ненулевых векторов

Выберем два коллинеарных ненулевых вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для определенности будем считать, что они отложены от общего начала O и лежат на одной прямой.
Важный вывод: любая линейная комбинация коллинеарных векторов $a\vec{x} + b\vec{y}$ является вектором, коллинеарным исходным векторам. Все результирующие векторы будут лежать на той же прямой, что и $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$
Вектор $2\vec{y}$ коллинеарен $\vec{y}$ и, следовательно, $\vec{x}$. Сложение коллинеарных векторов дает коллинеарный им вектор. Его направление и длина зависят от исходного направления $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если они сонаправлены, то $\vec{x}$ и $2\vec{y}$ также сонаправлены, и их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|\vec{x}| + 2|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $|\vec{x}| + 2|\vec{y}|$.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$
Аналогично пункту а), результирующий вектор будет коллинеарен $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то и $\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ сонаправлены. Их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$
Результирующий вектор коллинеарен $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то и $3\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ сонаправлены. Их сумма — это вектор, сонаправленный с $\vec{x}$, с длиной, равной $|3\vec{x}| + |\frac{1}{2}\vec{y}| = 3|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, результирующий вектор также сонаправлен им, и его длина равна $3|\vec{x}| + \frac{1}{2}|\vec{y}|$.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$
Это сложение векторов $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $(-3\vec{y})$. Вектор $-3\vec{y}$ коллинеарен $\vec{y}$, но направлен в противоположную сторону. Если $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то мы складываем два противоположно направленных коллинеарных вектора. Результирующий вектор будет коллинеарен исходным. Его направление совпадет с направлением вектора с большей длиной ($\frac{3}{2}\vec{x}$ или $-3\vec{y}$), а длина будет равна разности их длин, то есть $\left| |\frac{3}{2}\vec{x}| - |-3\vec{y}| \right| = \left| \frac{3}{2}|\vec{x}| - 3|\vec{y}| \right|$.
Ответ: Вектор, коллинеарный исходным. Его направление и модуль зависят от соотношения модулей векторов $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $3\vec{y}$.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$
Результатом является вектор $4\vec{y}$. Этот вектор коллинеарен вектору $\vec{y}$ (и, следовательно, вектору $\vec{x}$). Он сонаправлен с $\vec{y}$, и его длина в 4 раза больше длины $\vec{y}$.
Ответ: Вектор $4\vec{y}$, который коллинеарен исходным векторам.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$
Результатом является вектор $-2\vec{x}$. Этот вектор коллинеарен вектору $\vec{x}$, но направлен в противоположную сторону. Его длина в 2 раза больше длины $\vec{x}$.
Ответ: Вектор $-2\vec{x}$, который коллинеарен исходным векторам.