Страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

941 Турист прошёл 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы AB и ВС. Равны ли векторы AB + ВС и АС?

Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Для построения векторов перемещения туриста необходимо выбрать удобный масштаб. Расстояния, которые прошел турист, равны 20 км и 30 км. В качестве масштаба удобно взять 1 см на чертеже за 10 км на местности.

В этом масштабе:

• Длина вектора $\vec{AB}$, соответствующего перемещению на 20 км, будет равна $20 \text{ км} \div 10 \text{ км/см} = 2$ см.
• Длина вектора $\vec{BC}$, соответствующего перемещению на 30 км, будет равна $30 \text{ км} \div 10 \text{ км/см} = 3$ см.

Построение:

1. Выберем на листе бумаги произвольную точку и обозначим ее как город A.
2. Поскольку турист двигался на восток, отложим от точки A вправо (традиционное направление востока на картах) отрезок длиной 2 см. Конец этого отрезка обозначим точкой B и поставим стрелку, указывающую от A к B. Полученный направленный отрезок и есть вектор $\vec{AB}$.
3. Далее турист прошел 30 км на восток из города B в город C. От точки B отложим вправо по той же прямой отрезок длиной 3 см. Конец этого отрезка обозначим точкой C и поставим стрелку, указывающую от B к C. Это вектор $\vec{BC}$.
В результате точки A, B и C будут лежать на одной прямой, а векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ будут сонаправлены.

Ответ: Векторы построены в масштабе 1 см : 10 км, где вектор $\vec{AB}$ имеет длину 2 см, а вектор $\vec{BC}$ — 3 см, и оба направлены в одну сторону (на восток) вдоль одной прямой.

Равны ли векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$?

Равенство векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ следует напрямую из правила сложения векторов (правила треугольника или правила многоугольника).

По определению, суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (точка A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка C). Этот результирующий вектор и есть вектор $\vec{AC}$.

Таким образом, по правилу сложения векторов: $$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $$

Можно также проверить это, сравнив характеристики векторов:

• Вектор $\vec{AC}$ представляет собой общее перемещение из точки A в точку C. Так как движение происходило только на восток, то направление вектора $\vec{AC}$ — на восток. Его длина (модуль) равна общему пройденному расстоянию в одном направлении: $|\vec{AC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50$ км.
• Вектор $\vec{AB} + \vec{BC}$ — это сумма двух сонаправленных векторов. Его направление совпадает с направлением слагаемых векторов (на восток), а его длина равна сумме длин слагаемых векторов: $|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50$ км.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB} + \vec{BC}$ имеют одинаковую длину (50 км) и одинаковое направление (на восток), они равны.

Ответ: Да, векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равны.

942 Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и постройте векторы х + у, х + z, z + у.

Для решения задачи сначала необходимо начертить три вектора $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$, которые являются попарно неколлинеарными. Это означает, что ни один из векторов не параллелен другому и не лежит с ним на одной прямой. Для удобства построений отложим все три вектора от одной общей точки $O$. Пусть $\vec{x} = \vec{OA}$, $\vec{y} = \vec{OB}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$. Направления и длины векторов можно выбрать произвольно, соблюдая условие неколлинеарности.

Построение вектора $\vec{x} + \vec{y}$

Чтобы построить сумму векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$, воспользуемся правилом параллелограмма. Мы уже отложили векторы $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$ от общей точки $O$. Теперь достроим на этих векторах как на смежных сторонах параллелограмм $OADB$. Для этого через точку $A$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{y}$ (т.е. отрезку $OB$), а через точку $B$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{x}$ (т.е. отрезку $OA$). Точка пересечения этих прямых, которую мы обозначим $D$, будет четвертой вершиной параллелограмма. Вектор, исходящий из общей начальной точки $O$ и заканчивающийся в противоположной вершине $D$, является суммой векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Таким образом, $\vec{OD} = \vec{x} + \vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{x} + \vec{y}$ — это диагональ параллелограмма $OADB$, построенного на векторах $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$.

Построение вектора $\vec{x} + \vec{z}$

Построение этого вектора выполняется аналогично предыдущему. Используем векторы $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$, отложенные от той же точки $O$. Строим на них параллелограмм $OAEC$. Для этого через точку $A$ проводим прямую, параллельную вектору $\vec{z}$, а через точку $C$ — прямую, параллельную вектору $\vec{x}$. В точке их пересечения $E$ получаем четвертую вершину. Диагональ $\vec{OE}$ этого параллелограмма и будет являться искомой суммой векторов. Таким образом, $\vec{OE} = \vec{x} + \vec{z}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{x} + \vec{z}$ — это диагональ параллелограмма $OAEC$, построенного на векторах $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$.

Построение вектора $\vec{z} + \vec{y}$

Для построения суммы $\vec{z} + \vec{y}$ (что то же самое, что и $\vec{y} + \vec{z}$ из-за коммутативности сложения векторов) используем векторы $\vec{y} = \vec{OB}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$. Строим на них параллелограмм $OBFC$. Через точку $B$ проводим прямую, параллельную вектору $\vec{z}$, а через точку $C$ — прямую, параллельную вектору $\vec{y}$. Точка их пересечения $F$ является четвертой вершиной параллелограмма. Вектор-диагональ $\vec{OF}$ является суммой векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$. Таким образом, $\vec{OF} = \vec{z} + \vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{z} + \vec{y}$ — это диагональ параллелограмма $OBFC$, построенного на векторах $\vec{z} = \vec{OC}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$.

943 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b, с, d, e и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор a + b + c + d + e.

Для решения задачи сначала необходимо начертить пять попарно неколлинеарных векторов. Попарно неколлинеарные векторы — это такие векторы, ни одна пара которых не лежит на одной прямой или на параллельных прямых. Так как в условии не заданы конкретные векторы, мы можем выбрать их произвольно, соблюдая это условие.

Далее, для построения суммы векторов $\vec{s} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}$ воспользуемся правилом многоугольника. Это правило заключается в последовательном откладывании векторов так, чтобы начало каждого следующего вектора совпадало с концом предыдущего.

Порядок построения следующий:

1. Выбираем произвольную точку на плоскости, назовем ее $O$ — это будет начало первого вектора.
2. От точки $O$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{a}$. Конец этого вектора обозначим точкой $A$. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$.
3. От точки $A$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{b}$. Его конец обозначим точкой $B$. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{b}$.
4. От точки $B$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{c}$. Его конец обозначим точкой $C$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{c}$.
5. От точки $C$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{d}$. Его конец обозначим точкой $D$. Таким образом, $\vec{CD} = \vec{d}$.
6. От точки $D$ откладываем вектор, равный вектору $\vec{e}$. Его конец обозначим точкой $E$. Таким образом, $\vec{DE} = \vec{e}$.
7. Суммирующим (результирующим) вектором $\vec{s}$ будет вектор, соединяющий начальную точку $O$ первого вектора и конечную точку $E$ последнего вектора. То есть, $\vec{s} = \vec{OE}$.

Геометрически это выглядит как построение незамкнутой ломаной линии $OABCDE$. Вектор суммы $\vec{s} = \vec{OE}$ замыкает эту ломаную.

На чертеже ниже показан пример такого построения. Исходные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ построены последовательно друг за другом. Результирующий вектор $\vec{s}$ показан красным цветом.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{s} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}$ выполнено с помощью правила многоугольника. Для этого необходимо выбрать произвольные попарно неколлинеарные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$, а затем последовательно их отложить друг от друга так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор суммы $\vec{s}$ будет являться замыкающим вектором, проведенным из начальной точки первого вектора в конечную точку последнего, как показано на представленном выше чертеже.

944 Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и постройте векторы х − у, z − у, х − z, −х, −у, −z.

Для решения задачи сначала начертим три попарно неколлинеарных вектора $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$, выходящих из общего начала — точки O. Попарная неколлинеарность означает, что никакие два из этих векторов не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для удобства обозначим концы этих векторов буквами A, B и C соответственно, так что у нас есть векторы $\vec{x} = \vec{OA}$, $\vec{y} = \vec{OB}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$.

Далее выполним построение требуемых векторов, используя геометрические правила сложения и вычитания векторов.

Разность двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от общего начала, — это вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{a}$). В нашем случае векторы $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$ отложены от общего начала O. Следовательно, чтобы построить вектор $\vec{x} - \vec{y}$, мы проводим вектор из точки B (конец вектора $\vec{y}$) в точку A (конец вектора $\vec{x}$).

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BA}$.

Построение выполняется аналогично предыдущему пункту. Мы находим разность векторов $\vec{z} = \vec{OC}$ и $\vec{y} = \vec{OB}$. Вектор разности будет направлен от конца вектора $\vec{y}$ (точка B) к концу вектора $\vec{z}$ (точка C).

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BC}$.

Используем то же правило для векторов $\vec{x} = \vec{OA}$ и $\vec{z} = \vec{OC}$. Вектор разности $\vec{x} - \vec{z}$ будет направлен от конца вектора $\vec{z}$ (точка C) к концу вектора $\vec{x}$ (точка A).

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{CA}$.

Вектор $-\vec{x}$ является противоположным вектору $\vec{x}$. Это означает, что он имеет такую же длину (модуль), что и $\vec{x}$, но направлен в противоположную сторону. Если $\vec{x} = \vec{OA}$, то для построения вектора $-\vec{x}$ нужно от точки O отложить вектор на продолжении прямой AO за точку O, так, чтобы его длина была равна длине отрезка OA.

Ответ: Вектор $-\vec{x}$ — это вектор, равный по длине вектору $\vec{x}$, но направленный в противоположную сторону (сонаправленный с вектором $\vec{AO}$).

Аналогично, вектор $-\vec{y}$ противоположен вектору $\vec{y} = \vec{OB}$. Он имеет ту же длину, что и $\vec{y}$, но направлен в противоположную сторону. Его строят, откладывая от точки O вектор той же длины, что и $\vec{OB}$, но в направлении, противоположном лучу OB.

Ответ: Вектор $-\vec{y}$ — это вектор, равный по длине вектору $\vec{y}$, но направленный в противоположную сторону (сонаправленный с вектором $\vec{BO}$).

Вектор $-\vec{z}$ противоположен вектору $\vec{z} = \vec{OC}$. Он имеет ту же длину, что и $\vec{z}$, и направлен в противоположную сторону. Строится от точки O в направлении, противоположном лучу OC.

Ответ: Вектор $-\vec{z}$ — это вектор, равный по длине вектору $\vec{z}$, но направленный в противоположную сторону (сонаправленный с вектором $\vec{CO}$).

945 Начертите векторы х, у и z так, чтобы x ↑↑ у, х ↑↓ z. Постройте векторы х + у, у − z, х + z.

Для решения задачи сначала разберем условия и начертим исходные векторы.

Условие $\vec{x} \uparrow \uparrow \vec{y}$ означает, что векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то есть они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в одну и ту же сторону.

Условие $\vec{x} \uparrow \downarrow \vec{z}$ означает, что векторы $\vec{x}$ и $\vec{z}$ противоположно направлены, то есть они коллинеарны, но направлены в противоположные стороны.

Из этих условий следует, что все три вектора, $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$, коллинеарны.

Начертим эти векторы, выбрав для них произвольные длины. Пусть вектор $\vec{x}$ направлен горизонтально вправо и его длина (модуль) $|\vec{x}| = 3$ условные единицы (например, клетки). Тогда вектор $\vec{y}$ также будет направлен вправо, и пусть его длина будет $|\vec{y}| = 2$ единицы. Вектор $\vec{z}$ будет направлен влево, и пусть его длина будет $|\vec{z}| = 4$ единицы.

Теперь выполним построение требуемых векторов.

$\vec{x} + \vec{y}$

Сумма двух сонаправленных векторов — это вектор, сонаправленный с ними, длина которого равна сумме длин исходных векторов. Построение выполняется путем откладывания вектора $\vec{y}$ от конца вектора $\vec{x}$.

Направление результирующего вектора $\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$ совпадает с направлением векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ (вправо).

Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = |\vec{x}| + |\vec{y}| = 3 + 2 = 5$ единиц.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{y}$ сонаправлен с векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$, а его длина равна сумме длин этих векторов.

$\vec{y} - \vec{z}$

Разность векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$ можно представить как сумму вектора $\vec{y}$ и вектора $-\vec{z}$, то есть $\vec{y} - \vec{z} = \vec{y} + (-\vec{z})$. Вектор $-\vec{z}$ имеет ту же длину, что и $\vec{z}$, но направлен в противоположную сторону.

Так как $\vec{z}$ направлен влево, вектор $-\vec{z}$ направлен вправо. Таким образом, мы складываем два сонаправленных вектора: $\vec{y}$ (направлен вправо, $|\vec{y}| = 2$) и $-\vec{z}$ (направлен вправо, $|-\vec{z}| = |\vec{z}| = 4$).

Результирующий вектор $\vec{b} = \vec{y} - \vec{z}$ будет сонаправлен с $\vec{y}$ и $-\vec{z}$ (вправо), а его длина будет равна сумме их длин.

Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = |\vec{y}| + |-\vec{z}| = |\vec{y}| + |\vec{z}| = 2 + 4 = 6$ единиц.

Ответ: Вектор $\vec{y} - \vec{z}$ сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна сумме длин векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$.

$\vec{x} + \vec{z}$

Сумма двух противоположно направленных векторов — это вектор, который сонаправлен с бо?льшим по модулю вектором, а его длина равна разности длин исходных векторов.

В нашем примере $|\vec{x}| = 3$ и $|\vec{z}| = 4$. Так как $|\vec{z}| > |\vec{x}|$, результирующий вектор $\vec{c} = \vec{x} + \vec{z}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{z}$ (то есть направлен влево).

Длина вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = ||\vec{z}| - |\vec{x}|| = |4 - 3| = 1$ единица.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{z}$ направлен в сторону вектора с большей длиной (в нашем примере $\vec{z}$), а его длина равна разности длин векторов $\vec{z}$ и $\vec{x}$.

946 Начертите два ненулевых коллинеарных вектора a и b так, чтобы | а | ≠ | b |. Постройте векторы: а) a − b; б) b − а; в) −а + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда | a | = | b |.

Построение для случая, когда $|\vec{a}| \neq |\vec{b}|$

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (лежать на одной прямой или параллельных прямых и указывать в одном направлении) или противоположно направленными (лежать на одной прямой или параллельных прямых и указывать в противоположных направлениях). Рассмотрим оба варианта.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Пусть для определенности $|\vec{a}| > |\vec{b}|$. Отложим оба вектора от одной точки O. Так как они сонаправлены, они будут лежать на одном луче. Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Тогда точка B будет лежать между O и A.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Вычитание векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сложение векторов $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ противоположен вектору $\vec{b}$, то есть он будет направлен в противоположную сторону. Чтобы построить сумму, от конца вектора $\vec{a}$ (точки A) откладываем вектор $-\vec{b}$. Его конец попадет в точку B. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора (O) с концом второго (B), но это неверно по правилу треугольника. Правильнее использовать правило вычитания векторов: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от одной точки, есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому. То есть, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Этот вектор начинается в точке B и заканчивается в точке A.
Ответ: результирующий вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен разности их модулей: $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Аналогично пункту а), используя правило вычитания: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$. Этот вектор начинается в точке A и заканчивается в точке B.
Ответ: результирующий вектор $\vec{b} - \vec{a}$ направлен противоположно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ направлен противоположно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Отложим оба вектора от одной точки O. Так как они противоположно направлены, они будут лежать на одной прямой, но на лучах в разные стороны от точки O. Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Представим вычитание как сложение: $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$. Чтобы их сложить, от конца вектора $\vec{a}$ (точки А) откладываем вектор, равный $-\vec{b}$. Результирующий вектор соединит начало вектора $\vec{a}$ (точку O) с концом вектора $-\vec{b}$. Так как $-\vec{b}$ и $\vec{a}$ сонаправлены, мы фактически складываем их длины.
Ответ: результирующий вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{a}| + |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Представим вычитание как сложение: $\vec{b} + (-\vec{a})$. Вектор $-\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$. Сложение этих векторов даст вектор, направленный в ту же сторону.
Ответ: результирующий вектор $\vec{b} - \vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

Построение для случая, когда $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Снова рассмотрим два варианта направлений.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Если сонаправленные векторы имеют равные модули, то эти векторы равны: $\vec{a} = \vec{b}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Так как $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$), который представляется точкой.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Аналогично, $\vec{b} - \vec{a} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$).

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Так как $\vec{b} = \vec{a}$, то $-\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$).

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Если противоположно направленные векторы имеют равные модули, то $\vec{b} = -\vec{a}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Подставляем $\vec{b} = -\vec{a}$: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - (-\vec{a}) = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его модуль вдвое больше модуля $\vec{a}$: $|2\vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Подставляем $\vec{b} = -\vec{a}$: $\vec{b} - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$. Этот вектор равен $2\vec{b}$.
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$ (и противоположно направлен вектору $\vec{a}$), а его модуль вдвое больше модуля $\vec{b}$: $|-2\vec{a}| = 2|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен $2|\vec{b}|$.

947 Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: а) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.

а)

Для доказательства векторного равенства $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$ воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, для любых трех точек A, B, C справедливо равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Мы применим это правило к обеим частям доказываемого равенства.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MN} + \vec{NQ}$.

Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NQ}$ идут последовательно: начало второго вектора (точка N) совпадает с концом первого. По правилу треугольника, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) и конец второго (точка Q).

$\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MQ}$

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MP} + \vec{PQ}$.

Аналогично, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{PQ}$ идут последовательно. Их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) и конец второго (точка Q).

$\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{MQ}$, мы доказали, что равенство верно.

Ответ: Доказано. Обе части равенства, согласно правилу сложения векторов, равны одному и тому же вектору $\vec{MQ}$.

б)

Для доказательства равенства $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$ также воспользуемся правилом треугольника.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MN} + \vec{NP}$.

Сумма последовательных векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$ равна вектору, соединяющему начало первого (точка M) и конец второго (точка P).

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MQ} + \vec{QP}$.

Сумма последовательных векторов $\vec{MQ}$ и $\vec{QP}$ равна вектору, соединяющему начало первого (точка M) и конец второго (точка P).

$\vec{MQ} + \vec{QP} = \vec{MP}$

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{MP}$, равенство является верным.

Ответ: Доказано. Обе части равенства, согласно правилу сложения векторов, равны одному и тому же вектору $\vec{MP}$.

948 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство | х + у | < | х | + | у |.

Данное неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Оно утверждает, что длина вектора суммы двух векторов не превышает сумму их длин: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Равенство достигается только тогда, когда векторы коллинеарны и сонаправлены. Нам нужно доказать строгое неравенство для неколлинеарных векторов.

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$ равносильно неравенству $|\vec{x} + \vec{y}|^2 < (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2$.

Рассмотрим левую часть. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора:$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть. Возведем сумму модулей в квадрат как обычное алгебраическое выражение:$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Теперь сравним преобразованные левую и правую части. Наше неравенство принимает вид:$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 < |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$, получаем:$2(\vec{x} \cdot \vec{y}) < 2|\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

По определению, скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равно $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между этими векторами. Подставим это в наше неравенство:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$

По условию, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ неколлинеарны. Это означает, что они не лежат на одной прямой. Следовательно, угол $\alpha$ между ними не равен $0^\circ$ и не равен $180^\circ$. Поскольку косинус достигает своего максимального значения, равного 1, только при $\alpha = 0^\circ$ (для сонаправленных векторов), для любого другого угла из диапазона $(0^\circ, 180^\circ)$ будет выполняться строгое неравенство $\cos\alpha < 1$.

Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ ненулевые (иначе понятие неколлинеарности не имеет смысла), их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ являются положительными числами. Умножая неравенство $\cos\alpha < 1$ на положительное число $|\vec{x}||\vec{y}|$, получаем:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

Это неравенство, как мы показали ранее, равносильно исходному. Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно является следствием того, что для неколлинеарных векторов угол между ними $\alpha$ таков, что $\cos\alpha < 1$, что приводит к строгому неравенству $\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$, которое после алгебраических преобразований доказывает исходное утверждение.

949 Докажите, что если A, B, C, и D — произвольные точки, то AB + ВС + CD + DA = 0.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как правило многоугольника или правило Шаля. Согласно этому правилу, для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и будем последовательно применять это правило для сложения векторов.

1. Сначала сложим первые два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго (точка B), их сумма равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

После этого преобразования исходное выражение примет вид:
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

2. Теперь к полученному вектору $\vec{AC}$ прибавим следующий вектор $\vec{CD}$:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Выражение упрощается до:
$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$.

3. На последнем шаге необходимо найти сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, поскольку он имеет ту же длину, но противоположное направление. Следовательно, $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору:
$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{AD} - \vec{AD} = \vec{0}$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$, что и требовалось.

Ответ: Равенство доказано. Геометрически это означает, что если последовательно совершить перемещения по векторам, образующим замкнутый контур (из точки A в B, из B в C, из C в D и обратно в A), то итоговое перемещение будет равно нулю. Алгебраически это доказывается путем последовательного применения правила сложения векторов (правила Шаля), что приводит к сумме двух противоположных векторов, равной нулевому вектору: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$.

950 Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) | AB + ВС |; б) | AB + АС |; в) | AB + СB |; г) | ВА − ВС |; д) | АB − АС |.

Дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все внутренние углы равны $60^\circ$.

Следовательно, модули векторов, соответствующих сторонам, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$.

а) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$

Согласно правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, если начало одного вектора совпадает с концом другого, их сумма является вектором, соединяющим начало первого и конец второго. В данном случае, вектор $\vec{AB}$ заканчивается в точке B, а вектор $\vec{BC}$ начинается в точке B. Таким образом, их сумма — это вектор $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Модуль суммы равен модулю (длине) вектора $\vec{AC}$. Так как сторона AC треугольника равна $a$, то:

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$

Ответ: $a$

б) $|\vec{AB} + \vec{AC}|$

Для нахождения модуля суммы двух векторов, исходящих из одной точки, используем формулу, основанную на скалярном произведении. Квадрат модуля суммы векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

В нашем случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной вершины A. Угол между ними — это угол $\angle CAB$, который равен $60^\circ$. Модули векторов $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{AC}| = a$.

Подставляем значения в формулу:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = 2a^2 + 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень, получаем модуль суммы:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

в) $|\vec{AB} + \vec{CB}|$

Заметим, что вектор $\vec{CB}$ является противоположным вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Тогда искомое выражение можно переписать как $|\vec{AB} - \vec{BC}|$.

Для нахождения модуля разности векторов используем формулу:

$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Здесь $\vec{u} = \vec{AB}$ и $\vec{v} = \vec{BC}$. Модули векторов $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, если их отложить из одной точки, равен внешнему углу треугольника при вершине B, то есть $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Подставляем значения:

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно:

$|\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

г) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

По геометрическому определению разности векторов, если векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ выходят из одной точки, то вектор $\vec{u} - \vec{v}$ направлен от конца вектора $\vec{v}$ к концу вектора $\vec{u}$.

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ выходят из одной точки B. Следовательно, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{BC}$ (точка C) к концу вектора $\vec{BA}$ (точка A). То есть, это вектор $\vec{CA}$.

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине стороны CA:

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$

Ответ: $a$

д) $|\vec{AB} - \vec{AC}|$

Используем то же геометрическое определение разности векторов, что и в предыдущем пункте.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки A. Их разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{AC}$ (точка C) к концу вектора $\vec{AB}$ (точка B). То есть, это вектор $\vec{CB}$.

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Модуль этого вектора равен длине стороны CB:

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = a$

Ответ: $a$

951 В треугольнике ABC: AB = 6, ВС = 8, ∠B = 90°. Найдите: а) | ВА | − | ВС | и | ВА − ВС |; б) | AB | + | ВС | и | AB + ВС |; в) | ВА | + | ВС | и | ВА + ВС |; г) | AB | − | ВС | и | AB − ВС |.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $AB = 6$, $BC = 8$ и $\angle B = 90^\circ$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AB$ и $BC$.

Сначала определим модули (длины) данных векторов. Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка:

$|\vec{AB}| = AB = 6$

$|\vec{BA}| = BA = 6$

$|\vec{BC}| = BC = 8$

Найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, $|\vec{AC}| = |\vec{CA}| = 10$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

а) Найти $|\vec{BA}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} - \vec{BC}|$.

1. Разность модулей векторов – это простое арифметическое действие с их длинами:

$|\vec{BA}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Модуль разности векторов $\vec{BA} - \vec{BC}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной точки $B$. По правилу вычитания векторов, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ есть вектор $\vec{CA}$, который соединяет их концы (от конца вычитаемого $C$ к концу уменьшаемого $A$).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине отрезка $CA$, то есть длине гипотенузы:

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = 10$.

Ответ: -2 и 10.

б) Найти $|\vec{AB}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} + \vec{BC}|$.

1. Сумма модулей векторов:

$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Модуль суммы векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ соединены последовательно (конец первого совпадает с началом второго). По правилу треугольника, их сумма — это вектор $\vec{AC}$, замыкающий треугольник.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Модуль этого вектора равен длине гипотенузы $AC$:

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = 10$.

Ответ: 14 и 10.

в) Найти $|\vec{BA}| + |\vec{BC}|$ и $|\vec{BA} + \vec{BC}|$.

1. Сумма модулей векторов:

$|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$.

2. Модуль суммы векторов $\vec{BA} + \vec{BC}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной точки $B$. Их сумму можно найти по правилу параллелограмма. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм $BADC$. Так как угол между векторами $\angle B = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником. Сумма векторов $\vec{BA} + \vec{BC}$ равна вектору диагонали $\vec{BD}$. Длина этой диагонали по теореме Пифагора для треугольника $BAD$ (или $BCD$) равна:

$|\vec{BD}| = \sqrt{BA^2 + AD^2} = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Итак, $|\vec{BA} + \vec{BC}| = 10$.

Ответ: 14 и 10.

г) Найти $|\vec{AB}| - |\vec{BC}|$ и $|\vec{AB} - \vec{BC}|$.

1. Разность модулей векторов:

$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$.

2. Модуль разности векторов $|\vec{AB} - \vec{BC}|$. Заметим, что $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Тогда:

$|\vec{AB} - \vec{BC}| = |-\vec{BA} - \vec{BC}| = |-1 \cdot (\vec{BA} + \vec{BC})| = |-1| \cdot |\vec{BA} + \vec{BC}| = |\vec{BA} + \vec{BC}|$.

Модуль этой суммы был найден в пункте в) и равен 10.
Альтернативно, можно использовать скалярное произведение. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = (\vec{AB} - \vec{BC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC}) = |\vec{AB}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot \vec{BC}) + |\vec{BC}|^2$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны (угол между ними $90^\circ$), поэтому их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$.

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = 6^2 - 2 \cdot 0 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: -2 и 10.

952 Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) (AB + BC − MC) + (MD − KD); б) (CB + AC + BD) − (MK + KD).

а) Для упрощения выражения $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD})$ воспользуемся правилом многоугольника (правилом Шаля) для сложения векторов и правилом вычитания векторов.

1. Упростим первую скобку $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC})$:

По правилу многоугольника, сумма векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Теперь выражение в скобке принимает вид: $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC}$.

Вычитание вектора $\overrightarrow{MC}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $\overrightarrow{CM}$ (так как $-\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CM}$).

Следовательно, $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$.

Снова применяем правило многоугольника: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM}$.

2. Упростим вторую скобку $(\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD})$:

Вычитание вектора $\overrightarrow{KD}$ можно заменить сложением с противоположным вектором $\overrightarrow{DK}$:

$\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}$.

По правилу многоугольника, так как конец вектора $\overrightarrow{MD}$ (точка D) совпадает с началом вектора $\overrightarrow{DK}$ (точка D), их сумма равна $\overrightarrow{MK}$.

3. Сложим полученные результаты:

Исходное выражение равно сумме упрощенных скобок: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK}$.

По правилу многоугольника: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK}$.

Ответ: $\overrightarrow{AK}$.

б) Для упрощения выражения $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD})$ поступим аналогичным образом.

1. Упростим первую скобку $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$:

Так как сложение векторов коммутативно (порядок не важен), переставим слагаемые для удобства: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$.

Сложим первые два вектора по правилу многоугольника: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$.

Теперь выражение в скобке выглядит так: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$.

Еще раз применим правило многоугольника: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$.

2. Упростим вторую скобку $(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD})$:

По правилу многоугольника: $\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MD}$.

3. Вычтем из результата первого действия результат второго:

Получаем выражение: $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{MD}$.

Заменяем вычитание сложением с противоположным вектором: $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$.

Переставим слагаемые для наглядности применения правила многоугольника: $\overrightarrow{DM} + \overrightarrow{AD}$.

Применяем правило: $\overrightarrow{DM} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM}$.

Ответ: $\overrightarrow{AM}$.