Страница 228 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

926 Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.

Согласно условию задачи, у нас есть три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Это значит, что они образуют вершины треугольника. Нам необходимо построить все ненулевые векторы, у которых начало и конец являются двумя любыми из этих трех точек.

Вектор — это направленный отрезок, который имеет начальную и конечную точку. Так как векторы должны быть ненулевыми, их начальная и конечная точки должны быть различны.

Рассмотрим все возможные пары различных точек из множества {A, B, C} и определим для них векторы:

1. Пара точек A и B. Из этих двух точек можно составить два вектора:
- Вектор с началом в точке A и концом в точке B. Это вектор $\vec{AB}$.
- Вектор с началом в точке B и концом в точке A. Это вектор $\vec{BA}$.

2. Пара точек A и C. Аналогично, получаем два вектора:
- Вектор $\vec{AC}$ (начало A, конец C).
- Вектор $\vec{CA}$ (начало C, конец A).

3. Пара точек B и C. Также получаем два вектора:
- Вектор $\vec{BC}$ (начало B, конец C).
- Вектор $\vec{CB}$ (начало C, конец B).

Таким образом, общее количество возможных ненулевых векторов равно $3 \times 2 = 6$.

Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора:
1. Вектор $\vec{AB}$: начало в точке A, конец в точке B.
2. Вектор $\vec{BA}$: начало в точке B, конец в точке A.
3. Вектор $\vec{AC}$: начало в точке A, конец в точке C.
4. Вектор $\vec{CA}$: начало в точке C, конец в точке A.
5. Вектор $\vec{BC}$: начало в точке B, конец в точке C.
6. Вектор $\vec{CB}$: начало в точке C, конец в точке B.

Ответ: Можно построить 6 ненулевых векторов: $\vec{AB}$ (начало A, конец B); $\vec{BA}$ (начало B, конец A); $\vec{AC}$ (начало A, конец C); $\vec{CA}$ (начало C, конец A); $\vec{BC}$ (начало B, конец C); $\vec{CB}$ (начало C, конец B).

927 Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.

Для наглядного представления полета самолета необходимо выбрать подходящий масштаб и начертить векторы перемещения. Примем, что 1 сантиметр на чертеже соответствует 100 километрам в реальности. Направления сторон света будем считать стандартными: север — вверху, юг — внизу, запад — слева, восток — справа.

1. Построение вектора первого перемещения. Самолет летит сначала на 300 км на юг от города А до города B. В выбранном нами масштабе (1 см : 100 км) длина этого отрезка на чертеже будет равна: $300 \text{ км} / 100 \text{ км/см} = 3 \text{ см}$. Отметим на листе точку А. От нее отложим направленный отрезок (вектор) $\overrightarrow{AB}$ длиной 3 см вертикально вниз. Точка B — конец этого вектора.

2. Построение вектора второго перемещения. Затем самолет летит на 500 км на восток от города B до города C. Длина этого перемещения на чертеже составит: $500 \text{ км} / 100 \text{ км/см} = 5 \text{ см}$. От точки B (конца первого вектора) отложим направленный отрезок (вектор) $\overrightarrow{BC}$ длиной 5 см горизонтально вправо. Точка C — конец этого вектора.

3. Построение результирующего вектора. Вектор $\overrightarrow{AC}$ изображает общее перемещение самолета из начальной точки A в конечную точку C. По правилу сложения векторов, он соединяет начало первого вектора (A) с концом второго вектора (C).

На чертеже это выглядит следующим образом:

В результате построения мы получаем прямоугольный треугольник ABC, где катеты AB и BC — это векторы двух последовательных перемещений, а гипотенуза AC — итоговый вектор перемещения. Длину (модуль) итогового перемещения $|\overrightarrow{AC}|$ можно найти по теореме Пифагора:

$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{300^2 + 500^2} = \sqrt{90000 + 250000} = \sqrt{340000} = 100\sqrt{34} \approx 583.1 \text{ км}$.

Ответ: Чертеж, изображающий полет самолета, строится следующим образом: выбирается масштаб (например, 1 см : 100 км), после чего из начальной точки А чертится вектор $\overrightarrow{AB}$ длиной 3 см, направленный вертикально вниз (на юг). Из конца этого вектора, точки B, чертится вектор $\overrightarrow{BC}$ длиной 5 см, направленный горизонтально вправо (на восток). Результирующий вектор $\overrightarrow{AC}$ соединяет начальную точку A и конечную точку C. Полученная фигура ABC является прямоугольным треугольником, в котором вектор $\overrightarrow{AC}$ является гипотенузой.

928 Начертите векторы AB, CD и EF так, чтобы:

а) AB, CD и EF были коллинеарны и | AB | = 1 см, | CD | = 2,5 см, | EF | = 4,5 см;

б) AB и EF были коллинеарны, AB и CD были не коллинеарны и | AB | = 3 см, | CD | = 1,5 см, | EF | = 1 см.

а) Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их направления могут быть одинаковыми (сонаправленные) или противоположными. Чтобы начертить векторы $\vec{AB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{EF}$ согласно условию, нужно начертить три отрезка с указанными направлениями (стрелками) так, чтобы они были параллельны друг другу (или лежали на одной прямой) и имели заданные длины.

Порядок действий для построения:

1. Начертите произвольную прямую. На ней постройте вектор $\vec{AB}$ длиной $|\vec{AB}| = 1$ см.

2. Начертите вторую прямую, параллельную первой (или можно использовать ту же самую прямую). На ней постройте вектор $\vec{CD}$ длиной $|\vec{CD}| = 2,5$ см.

3. Начертите третью прямую, параллельную первым двум (или используйте одну из уже начерченных прямых). На ней постройте вектор $\vec{EF}$ длиной $|\vec{EF}| = 4,5$ см.

Важно отметить, что направления векторов могут быть как одинаковыми, так и противоположными, так как это не оговорено в условии. Например, все три вектора могут быть направлены в одну сторону (сонаправлены).

Ответ: Изобразите три вектора на одной прямой или на параллельных прямых. Длина первого вектора ($\vec{AB}$) должна быть 1 см, второго ($\vec{CD}$) — 2,5 см, третьего ($\vec{EF}$) — 4,5 см.

б) По условию векторы $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых (или на одной прямой). Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, это значит, что прямая, на которой лежит вектор $\vec{CD}$, не параллельна прямой, на которой лежит вектор $\vec{AB}$.

Для построения векторов необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить вектор $\vec{AB}$ заданной длины $|\vec{AB}| = 3$ см. Для этого выберите произвольное направление.

2. Начертить прямую, параллельную вектору $\vec{AB}$ (или использовать ту же прямую). На этой прямой построить вектор $\vec{EF}$ длиной $|\vec{EF}| = 1$ см. Его направление может совпадать с направлением $\vec{AB}$ или быть противоположным.

3. Начертить прямую, которая не параллельна вектору $\vec{AB}$ (то есть пересекает прямую, содержащую $\vec{AB}$). На этой новой прямой построить вектор $\vec{CD}$ длиной $|\vec{CD}| = 1,5$ см.

Ответ: Начертите вектор $\vec{AB}$ длиной 3 см. Затем начертите вектор $\vec{EF}$ длиной 1 см на прямой, параллельной прямой вектора $\vec{AB}$. Наконец, начертите вектор $\vec{CD}$ длиной 1,5 см на прямой, которая не параллельна прямой вектора $\vec{AB}$.

929 Начертите два неколлинеарных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором $\overrightarrow{a}$; б) сонаправленных с вектором $\overrightarrow{b}$; в) противоположно направленных вектору $\overrightarrow{b}$; г) противоположно направленных вектору $\overrightarrow{a}$.

Сначала начертим два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для наглядности отложим их от одной точки.

а) сонаправленных с вектором $\vec{a}$

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону. Вектор $\vec{c}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ (обозначается как $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{a}$), если существует такое положительное число $k > 0$, что $\vec{c} = k \cdot \vec{a}$. Это означает, что вектор $\vec{c}$ параллелен вектору $\vec{a}$, имеет то же направление, а его длина может быть другой. Начертим векторы $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$, сонаправленные с $\vec{a}$.

Ответ: На рисунке изображены векторы $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$ (синего цвета), которые сонаправлены с вектором $\vec{a}$ (серого цвета).

б) сонаправленных с вектором $\vec{b}$

Аналогично пункту а), вектор $\vec{d}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$ (обозначается как $\vec{d} \uparrow\uparrow \vec{b}$), если $\vec{d} = k \cdot \vec{b}$ для некоторого $k > 0$. Вектор $\vec{d}$ параллелен вектору $\vec{b}$ и указывает в том же направлении. Начертим векторы $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$, сонаправленные с $\vec{b}$.

Ответ: На рисунке изображены векторы $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ (зеленого цвета), которые сонаправлены с вектором $\vec{b}$ (серого цвета).

в) противоположно направленных вектору $\vec{b}$

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Вектор $\vec{e}$ противоположно направлен вектору $\vec{b}$ (обозначается как $\vec{e} \uparrow\downarrow \vec{b}$), если существует такое отрицательное число $k < 0$, что $\vec{e} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что вектор $\vec{e}$ параллелен вектору $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Начертим векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$, противоположно направленные вектору $\vec{b}$.

Ответ: На рисунке изображены векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ (красного цвета), которые противоположно направлены вектору $\vec{b}$ (серого цвета).

г) противоположно направленных вектору $\vec{a}$

Аналогично пункту в), вектор $\vec{f}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ (обозначается как $\vec{f} \uparrow\downarrow \vec{a}$), если $\vec{f} = k \cdot \vec{a}$ для некоторого $k < 0$. Вектор $\vec{f}$ параллелен вектору $\vec{a}$, но указывает в противоположном направлении. Начертим векторы $\vec{f_1}$ и $\vec{f_2}$, противоположно направленные вектору $\vec{a}$.

Ответ: На рисунке изображены векторы $\vec{f_1}$ и $\vec{f_2}$ (оранжевого цвета), которые противоположно направлены вектору $\vec{a}$ (серого цвета).