Номер 946, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 946, страница 235.

946 Начертите два ненулевых коллинеарных вектора a и b так, чтобы | а | ≠ | b |. Постройте векторы: а) a − b; б) b − а; в) −а + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда | a | = | b |.

Построение для случая, когда $|\vec{a}| \neq |\vec{b}|$

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (лежать на одной прямой или параллельных прямых и указывать в одном направлении) или противоположно направленными (лежать на одной прямой или параллельных прямых и указывать в противоположных направлениях). Рассмотрим оба варианта.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Пусть для определенности $|\vec{a}| > |\vec{b}|$. Отложим оба вектора от одной точки O. Так как они сонаправлены, они будут лежать на одном луче. Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Тогда точка B будет лежать между O и A.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Вычитание векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сложение векторов $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ противоположен вектору $\vec{b}$, то есть он будет направлен в противоположную сторону. Чтобы построить сумму, от конца вектора $\vec{a}$ (точки A) откладываем вектор $-\vec{b}$. Его конец попадет в точку B. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора (O) с концом второго (B), но это неверно по правилу треугольника. Правильнее использовать правило вычитания векторов: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от одной точки, есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому. То есть, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Этот вектор начинается в точке B и заканчивается в точке A.
Ответ: результирующий вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен разности их модулей: $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Аналогично пункту а), используя правило вычитания: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$. Этот вектор начинается в точке A и заканчивается в точке B.
Ответ: результирующий вектор $\vec{b} - \vec{a}$ направлен противоположно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ направлен противоположно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его модуль равен $|\vec{a}| - |\vec{b}|$.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Отложим оба вектора от одной точки O. Так как они противоположно направлены, они будут лежать на одной прямой, но на лучах в разные стороны от точки O. Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Представим вычитание как сложение: $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$. Чтобы их сложить, от конца вектора $\vec{a}$ (точки А) откладываем вектор, равный $-\vec{b}$. Результирующий вектор соединит начало вектора $\vec{a}$ (точку O) с концом вектора $-\vec{b}$. Так как $-\vec{b}$ и $\vec{a}$ сонаправлены, мы фактически складываем их длины.
Ответ: результирующий вектор $\vec{a} - \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{a}| + |\vec{b}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Представим вычитание как сложение: $\vec{b} + (-\vec{a})$. Вектор $-\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$. Сложение этих векторов даст вектор, направленный в ту же сторону.
Ответ: результирующий вектор $\vec{b} - \vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор $-\vec{a} + \vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен сумме их модулей: $|\vec{b}| + |\vec{a}|$.

Построение для случая, когда $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Снова рассмотрим два варианта направлений.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$)

Если сонаправленные векторы имеют равные модули, то эти векторы равны: $\vec{a} = \vec{b}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Так как $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$), который представляется точкой.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Аналогично, $\vec{b} - \vec{a} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$).

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Так как $\vec{b} = \vec{a}$, то $-\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{a} = \vec{0}$.
Ответ: результирующий вектор является нулевым вектором ($\vec{0}$).

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$)

Если противоположно направленные векторы имеют равные модули, то $\vec{b} = -\vec{a}$.

а) $\vec{a} - \vec{b}$
Подставляем $\vec{b} = -\vec{a}$: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - (-\vec{a}) = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его модуль вдвое больше модуля $\vec{a}$: $|2\vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

б) $\vec{b} - \vec{a}$
Подставляем $\vec{b} = -\vec{a}$: $\vec{b} - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$. Этот вектор равен $2\vec{b}$.
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$ (и противоположно направлен вектору $\vec{a}$), а его модуль вдвое больше модуля $\vec{b}$: $|-2\vec{a}| = 2|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$.

в) $-\vec{a} + \vec{b}$
Данное выражение равно $\vec{b} - \vec{a}$, поэтому построение и результат полностью совпадают с пунктом б).
Ответ: результирующий вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его модуль равен $2|\vec{b}|$.