Номер 974, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 92. Применение векторов к решению задач - номер 974, страница 242.

Условие.

974 Отрезки АА₁, ВВ₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА₁, BB₁, СС₁ через векторы а = АС и b = AB.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

$\vec{AA_1}$

Поскольку $AA_1$ — медиана, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Вектор медианы, проведенный из вершины $A$, можно найти по правилу нахождения вектора к середине отрезка: он равен полусумме векторов, проведенных из той же вершины к концам отрезка. В нашем случае: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

Подставляя заданные в условии векторы $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{a}$, получаем: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{BB_1}$

Поскольку $BB_1$ — медиана, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Чтобы выразить вектор $\vec{BB_1}$, воспользуемся правилом вычитания векторов. Представим вектор $\vec{BB_1}$ как разность векторов, проведенных из вершины $A$: $\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB}$.

Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Вектор $\vec{AB}$ дан по условию: $\vec{AB} = \vec{b}$.

Подставляя эти выражения в формулу, получаем: $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CC_1}$

Поскольку $CC_1$ — медиана, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{CC_1}$ как разность векторов, проведенных из вершины $A$: $\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC}$.

Так как $C_1$ — середина $AB$, то $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Вектор $\vec{AC}$ дан по условию: $\vec{AC} = \vec{a}$.

Подставляя эти выражения в формулу, получаем: $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.