Номер 989, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 989, страница 244.

989 Докажите, что для любых векторов x и у справедливы неравенства | x | − | у | ≤ | x + у | ≤ | x | + | у |.

Данное двойное неравенство, известное как неравенство треугольника, можно доказать, разбив его на две части.

Доказательство правого неравенства $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$

Это классическое неравенство треугольника для векторов. Для его доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Модуль вектора (его длина) всегда неотрицателен, поэтому мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства.

Левая часть в квадрате:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскроем скобки по правилам скалярного произведения:

$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), получаем:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Правая часть в квадрате:

$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Теперь исходное неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$ эквивалентно неравенству:

$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 \le |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$, получаем:

$2(\vec{x} \cdot \vec{y}) \le 2|\vec{x}||\vec{y}|$

$\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$

Это неравенство известно как неравенство Коши-Буняковского (или Коши-Шварца). Оно справедливо для любых векторов, поскольку по определению скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Так как значение $\cos\theta$ никогда не превышает 1, то $\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$ всегда верно. Равенство достигается, когда векторы сонаправлены ($\theta = 0$, $\cos\theta = 1$).

Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Правая часть неравенства доказана.

Доказательство левого неравенства $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Для доказательства этой части воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

1. Представим вектор $\vec{x}$ как сумму векторов $(\vec{x} + \vec{y})$ и $(-\vec{y})$.

$\vec{x} = (\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})$

Применим к этому выражению неравенство треугольника:

$|\vec{x}| = |(\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |-\vec{y}|$

Так как $|-\vec{y}| = |\vec{y}|$, получаем:

$|\vec{x}| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{y}|$

Перенесем $|\vec{y}|$ в левую часть:

$|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$ (1)

2. Теперь проделаем аналогичную операцию для вектора $\vec{y}$, представив его как $\vec{y} = (\vec{y} + \vec{x}) + (-\vec{x})$.

$|\vec{y}| = |(\vec{y} + \vec{x}) + (-\vec{x})| \le |\vec{y} + \vec{x}| + |-\vec{x}|$

$|\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{x}|$

Перенесем $|\vec{x}|$ в левую часть:

$|\vec{y}| - |\vec{x}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$-(|\vec{y}| - |\vec{x}|) \ge -|\vec{x} + \vec{y}|$

$|\vec{x}| - |\vec{y}| \ge -|\vec{x} + \vec{y}|$ (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), мы получаем двойное неравенство:

$-|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Это в точности соответствует определению модуля числа: если $-A \le z \le A$, то $|z| \le A$. В нашем случае $z = |\vec{x}| - |\vec{y}|$ и $A = |\vec{x} + \vec{y}|$.

Следовательно, $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}|$.

Ответ: Левая часть неравенства доказана.

Таким образом, мы доказали обе части исходного двойного неравенства: $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$.