Номер 995, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 995, страница 245.

995* Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство

OA + OC = OB + OD.

Доказательство

Пусть $P_1, P_2, P_3, P_4$ — вершины произвольного четырехугольника. Точки $A, B, C, D$ — середины его сторон. Согласно условию, $A$ и $C$ являются серединами одной пары противоположных сторон, а $B$ и $D$ — другой. Определим их следующим образом:
- $A$ — середина стороны $P_1P_2$;
- $C$ — середина стороны $P_3P_4$;
- $B$ — середина стороны $P_2P_3$;
- $D$ — середина стороны $P_4P_1$.

Для любой точки $O$ радиус-вектор середины $M$ отрезка $XY$ выражается через радиус-векторы его концов по формуле: $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$.

Применим данную формулу для нахождения векторов из произвольной точки $O$ к серединам сторон четырехугольника:
$\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2})$
$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$
$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3})$
$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_4} + \overrightarrow{OP_1})$

Теперь рассмотрим левую и правую части доказываемого равенства $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

Вычислим сумму векторов в левой части:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$.

Вычислим сумму векторов в правой части:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_4} + \overrightarrow{OP_1}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} + \overrightarrow{OP_4})$.

Поскольку выражения для левой и правой частей равенства идентичны, мы можем заключить, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.