Номер 993, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

993 Три точки А, В и С расположены так, что BC = 12AB. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

OB = 13OA + 23OC.

Начнем с равенства, данного в условии задачи:
$\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Для доказательства искомого тождества введем произвольную точку $O$ и выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через радиус-векторы с началом в этой точке. Согласно правилу вычитания векторов:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$\vec{OC} - \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA})$

Теперь необходимо преобразовать полученное уравнение так, чтобы выразить вектор $\vec{OB}$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$2(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OA}$
$2\vec{OC} - 2\vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Далее сгруппируем все слагаемые, содержащие вектор $\vec{OB}$, в одной части равенства, а остальные слагаемые — в другой. Перенесем $-2\vec{OB}$ в правую часть, а $-\vec{OA}$ в левую:
$2\vec{OC} + \vec{OA} = \vec{OB} + 2\vec{OB}$

Приведем подобные члены в обеих частях уравнения:
$\vec{OA} + 2\vec{OC} = 3\vec{OB}$

Наконец, разделим обе части на 3, чтобы выразить $\vec{OB}$:
$\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OC}}{3}$

Запишем полученное выражение в требуемом виде:
$\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$ доказано.