Номер 1047, страница 264 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1047, страница 264.

1047 Окружность задана уравнением (x + 5)² + (у − 1)² = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (−2; 4), В (−5; −3), С (−7; −2) и D (1; 5) лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

б) на окружности;

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Данная окружность задана уравнением $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16$. Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $O(-5; 1)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 16$.

Для определения положения точки $(x; y)$ относительно круга, ограниченного этой окружностью, необходимо подставить ее координаты в левую часть уравнения и сравнить результат с квадратом радиуса ($16$):

• Если $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 < 16$, то точка лежит внутри круга.
• Если $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16$, то точка лежит на окружности.
• Если $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 > 16$, то точка лежит вне круга.

Проверим каждую из заданных точек:

1. Точка A(-2; 4)

Подставляем координаты $x = -2$ и $y = 4$:

$(-2 + 5)^2 + (4 - 1)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.

Так как $18 > 16$, точка A лежит вне круга.

2. Точка B(-5; -3)

Подставляем координаты $x = -5$ и $y = -3$:

$(-5 + 5)^2 + (-3 - 1)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$.

Так как $16 = 16$, точка B лежит на окружности.

3. Точка C(-7; -2)

Подставляем координаты $x = -7$ и $y = -2$:

$(-7 + 5)^2 + (-2 - 1)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$.

Так как $13 < 16$, точка C лежит внутри круга.

4. Точка D(1; 5)

Подставляем координаты $x = 1$ и $y = 5$:

$(1 + 5)^2 + (5 - 1)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.

Так как $52 > 16$, точка D лежит вне круга.

---

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

Внутри круга лежит точка, для которой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения меньше 16. Это точка C(-7; -2).

Ответ: C(-7; -2).

б) на окружности;

На окружности лежит точка, для которой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения равен 16. Это точка B(-5; -3).

Ответ: B(-5; -3).

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Вне круга лежат точки, для которых результат подстановки их координат в левую часть уравнения больше 16. Это точки A(-2; 4) и D(1; 5).

Ответ: A(-2; 4) и D(1; 5).