Номер 1044, страница 260 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1044, страница 260.

1044 Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки M плоскости справедливо равенство

AM² + СМ² = ВМ² + DM².

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы его вершина $A$ находилась в начале координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:

$A(0, 0)$

$B(a, 0)$

$D(0, b)$

$C(a, b)$

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости.

Воспользуемся формулой для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Выразим через координаты точек квадраты длин отрезков из доказываемого равенства.

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $A$:

$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $C$:

$CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $B$:

$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $D$:

$DM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую и правую части исходного равенства $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Вычислим левую часть равенства:

$AM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$AM^2 + CM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Вычислим правую часть равенства:

$BM^2 + DM^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$BM^2 + DM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ справедливо для любой точки $M$ на плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ доказано.