Номер 10, страница 49, часть 2 - гдз по математике 1 класс учебник Моро, Волкова

Часть 2. Числа от 11 до 20. Нумерация. Сложение и вычитание. Нумерация - номер 10, страница 49.

Условие.

10. Как можно разложить 10 кубиков разными способами в две коробки?

Решение.

Решение.

Решение 3.

Эта задача по комбинаторике может быть решена по-разному в зависимости от того, считаются ли кубики и коробки различимыми (уникальными) или неразличимыми (одинаковыми). Поскольку в условии нет уточнений, мы рассмотрим все четыре возможных сценария. В классической комбинаторике, если не указано обратное, объекты и их контейнеры принято считать различимыми, поэтому первый случай является наиболее стандартным решением.

Случай 1: Кубики различимы и коробки различимы
Это самая распространенная интерпретация подобных задач. Мы предполагаем, что каждый из 10 кубиков уникален (например, имеет свой номер или цвет), и коробки также отличаются друг от друга (например, "коробка А" и "коробка Б").
Для первого кубика существует 2 варианта размещения: положить его в первую коробку или во вторую.
Для второго кубика также есть 2 варианта, и этот выбор не зависит от расположения первого кубика.
Такая же логика применима ко всем 10 кубикам.
Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов равно произведению количества вариантов для каждого независимого выбора.
Общее количество способов: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
Вычислим значение: $2^{10} = 1024$.
Этот подсчет включает в себя и те два случая, когда одна из коробок остается пустой.
Ответ: 1024 способа.

Случай 2: Кубики неразличимы, а коробки различимы
В этом сценарии все 10 кубиков считаются абсолютно одинаковыми, но коробки по-прежнему различимы. Задача сводится к определению, сколькими способами можно распределить 10 идентичных единиц на две группы.
Пусть $x_1$ — количество кубиков в первой коробке, а $x_2$ — во второй. Тогда должно выполняться условие: $x_1 + x_2 = 10$.
Нам нужно найти количество целочисленных неотрицательных решений этого уравнения. Перечислим их в формате (кубиков в 1-й коробке, кубиков во 2-й коробке):
(0, 10), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0).
Всего получается 11 различных комбинаций.
Эту задачу можно решить и по общей формуле для сочетаний с повторениями. Число способов разложить $n$ одинаковых предметов по $k$ различным ящикам равно $C_{n+k-1}^{k-1} = \binom{n+k-1}{k-1}$.
Для $n=10$ и $k=2$ получаем: $\binom{10+2-1}{2-1} = \binom{11}{1} = 11$.
Ответ: 11 способов.

Случай 3: Кубики различимы, а коробки неразличимы
Здесь кубики уникальны, а вот коробки абсолютно одинаковы. Это означает, что размещение набора кубиков {1, 2} в одной коробке и {3, ..., 10} в другой не отличается от размещения {3, ..., 10} в первой и {1, 2} во второй.
Эта задача сводится к разбиению множества из 10 элементов на подмножества. Так как коробки две, мы можем разбить 10 кубиков на одну или две группы.
Количество способов разбить множество из $n$ элементов на $k$ непустых подмножеств определяется числом Стирлинга второго рода $S(n, k)$. Нам нужно найти сумму $S(10, 1) + S(10, 2)$.
$S(10, 1) = 1$ (это случай, когда все кубики находятся в одной группе, а вторая коробка пуста).
$S(10, 2)$ можно рассчитать по формуле $S(n, 2) = 2^{n-1} - 1$.
$S(10, 2) = 2^{10-1} - 1 = 2^9 - 1 = 512 - 1 = 511$.
Общее число способов равно сумме этих значений: $1 + 511 = 512$.
Ответ: 512 способов.

Случай 4: Кубики неразличимы и коробки неразличимы
Это самый простой вариант, в котором и кубики, и коробки одинаковы. Задача сводится к поиску числа разбиений числа 10 на не более чем два слагаемых. Порядок слагаемых здесь не имеет значения.
Возможные разбиения общего количества кубиков (10) на две группы:
10 + 0 (все кубики в одной коробке)
9 + 1
8 + 2
7 + 3
6 + 4
5 + 5
Вариант 4 + 6 будет идентичен варианту 6 + 4, так как коробки неразличимы. Таким образом, мы перечислили все возможные уникальные способы.
Их общее количество равно 6.
Ответ: 6 способов.