Номер 123, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

Решение

Проведём какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости α и β в различных точках А и В. По первой теореме п. 16 плоскости α и β перпендикулярны к прямой АВ.

Если допустить, что плоскости α и β не параллельны, т. е. имеют хотя бы одну общую точку М, то получим треугольник АВМ с двумя прямыми углами при вершинах А и В, что невозможно. Следовательно, α || β.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть нам даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, а также прямая $a$. По условию задачи, обе плоскости перпендикулярны этой прямой:
$\alpha \perp a$
$\beta \perp a$
Нам нужно доказать, что плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.

1. Предположение.
Допустим, что наше утверждение неверно, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости в пространстве не параллельны, они обязательно пересекаются, и линией их пересечения является прямая. Возьмем на этой линии пересечения произвольную точку $M$. По определению, эта точка принадлежит обеим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.

2. Построение.
Проведем прямую $b$, параллельную исходной прямой $a$ ($b \parallel a$), так, чтобы она пересекала плоскости $\alpha$ и $\beta$ в различных точках $A$ и $B$ соответственно.

3. Применение теоремы.
Согласно теореме о связи параллельности прямых и их перпендикулярности к плоскости: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.
• Так как $\alpha \perp a$ и $b \parallel a$, то из этого следует, что $\alpha \perp b$.
• Так как $\beta \perp a$ и $b \parallel a$, то из этого следует, что $\beta \perp b$.

4. Поиск противоречия.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Точки $A, B, M$ образуют треугольник, поскольку точка $M$ не может лежать на прямой $b$ (иначе прямая $b$ должна была бы лежать в обеих плоскостях, что невозможно, так как она им перпендикулярна).
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.
• Прямая $b$ (которая содержит отрезок $AB$) перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$. Следовательно, $b \perp AM$, а значит, угол $\angle MAB = 90^\circ$.
• Прямая $b$ также перпендикулярна плоскости $\beta$. Прямая $BM$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $B$. Следовательно, $b \perp BM$, а значит, угол $\angle ABM = 90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ABM$ мы имеем два прямых угла. Сумма этих двух углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Однако, согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех его углов должна быть равна $180^\circ$. Это означает, что третий угол, $\angle AMB$, должен быть равен $0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, было ложным. Следовательно, они не имеют общих точек.

Ответ: Две плоскости, не имеющие общих точек, являются параллельными. Таким образом, доказано, что $\alpha \parallel \beta$.