Номер 124, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Для доказательства равенства $PQ = P_1Q_1$ рассмотрим свойства геометрической фигуры, образованной точками $P, Q, P_1, Q_1$.

1. По условию задачи, прямые $PP_1$ и $QQ_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны между собой. Таким образом, $PP_1 \parallel QQ_1$.

2. Поскольку прямые $PP_1$ и $QQ_1$ параллельны, через них проходит единственная плоскость (назовем ее $\beta$). В этой плоскости лежат все четыре точки $P, Q, P_1, Q_1$, которые образуют плоский четырехугольник $PQQ_1P_1$.

3. Далее, по условию, прямая $PQ$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, в которой лежит прямая $PQ$, пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $P_1Q_1$. По свойству параллельности прямой и плоскости, если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает ее, то линия их пересечения параллельна данной прямой. Отсюда следует, что $PQ \parallel P_1Q_1$.

4. Мы установили, что в четырехугольнике $PQQ_1P_1$ противоположные стороны попарно параллельны: $PP_1 \parallel QQ_1$ и $PQ \parallel P_1Q_1$. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

5. Рассмотрим один из углов этого параллелограмма. Так как прямая $PP_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $P_1$. В частности, $PP_1 \perp P_1Q_1$. Это означает, что угол $\angle PP_1Q_1$ — прямой, то есть его мера составляет $90^\circ$.

6. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, фигура $PQQ_1P_1$ — это прямоугольник.

7. В любом прямоугольнике противоположные стороны равны по длине. Стороны $PQ$ и $P_1Q_1$ являются противоположными сторонами в прямоугольнике $PQQ_1P_1$. Таким образом, их длины равны: $PQ = P_1Q_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $PQ = P_1Q_1$ доказано. Отрезки $PQ$ и $P_1Q_1$ являются противоположными сторонами прямоугольника $PQQ_1P_1$, образованного данными точками в пространстве.