Номер 118, страница 41 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 118, страница 41.

118. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠АОВ, ∠MOC, ∠DAM, ∠DOA, ∠ВМО?

Для решения этой задачи воспользуемся определением перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

По условию, прямая, на которой лежат точки А, М, и О (назовем ее прямой $l$), перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка О является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$, так как она принадлежит и прямой, и плоскости ($l \cap \alpha = \{O\}$). Рассмотрим каждый угол отдельно.

?AOB

Угол $\angle AOB$ образован лучами OA и OB. Луч OA является частью прямой $l$. Луч OB лежит в плоскости $\alpha$, так как точки O и B лежат в этой плоскости. Поскольку прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ в точке O, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через O. Следовательно, прямая, содержащая луч OA, перпендикулярна прямой, содержащей луч OB. Таким образом, $\angle AOB = 90^\circ$.
Ответ: является прямым.

?MOC

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Угол $\angle MOC$ образован лучами MO и OC. Луч MO является частью прямой $l$, перпендикулярной плоскости $\alpha$. Луч OC лежит в плоскости $\alpha$, так как точки O и C лежат в ней. Прямая $l$ перпендикулярна прямой OC в точке O. Следовательно, $\angle MOC = 90^\circ$.
Ответ: является прямым.

?DAM

Этот угол является углом при вершине A в треугольнике $\triangle DAM$. Прямая AM совпадает с прямой $l$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Отрезок AO — это перпендикуляр из точки A к плоскости $\alpha$ (или его часть). Отрезок AD — это наклонная, проведенная из точки A к плоскости $\alpha$. Угол между перпендикуляром и наклонной, проведенными из одной точки, не может быть прямым. Точнее, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOD$ (прямой угол при вершине O). Угол $\angle OAD$ является острым. Так как точки A, M, O лежат на одной прямой $l$, то угол $\angle DAM$ либо совпадает с углом $\angle OAD$, либо смежен с ним, либо равен $180^\circ$ или $0^\circ$. Ни в одном из невырожденных случаев он не будет прямым.
Ответ: не является прямым.

?DOA

Угол $\angle DOA$ образован лучами OD и OA. Луч OA лежит на прямой $l$, перпендикулярной плоскости $\alpha$. Луч OD лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки O и D лежат в ней. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна прямой OD в точке O. Таким образом, $\angle DOA = 90^\circ$.
Ответ: является прямым.

?BMO

Рассмотрим треугольник $\triangle BMO$. В этом треугольнике сторона MO лежит на прямой $l$, а сторона OB лежит в плоскости $\alpha$. Так как $l \perp \alpha$, то $MO \perp OB$. Это означает, что угол $\angle MOB$ — прямой, а треугольник $\triangle BMO$ — прямоугольный с прямым углом при вершине O. Угол $\angle BMO$ является одним из острых углов этого прямоугольного треугольника. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому каждый из них меньше $90^\circ$ (в невырожденном случае, когда точки не совпадают).
Ответ: не является прямым.