Номер 112, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом.

Рассмотрим произвольный параллелепипед. Выберем одну из его вершин в качестве начала координат $O$. Пусть три ребра, выходящие из этой вершины, задаются векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Длины этих рёбер будут равны $a = |\vec{a}|$, $b = |\vec{b}|$ и $c = |\vec{c}|$.

Параллелепипед имеет 12 рёбер. Они состоят из трёх групп по четыре ребра в каждой, причём в каждой группе рёбра параллельны и равны по длине. Таким образом, у нас есть 4 ребра длины $a$, 4 ребра длины $b$ и 4 ребра длины $c$.

Сумма квадратов длин всех двенадцати рёбер параллелепипеда равна:

$\sum l^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Теперь найдём четыре диагонали параллелепипеда. Диагонали соединяют противолежащие вершины. Если одна вершина (начало координат) задана вектором $\vec{0}$, то остальные семь вершин задаются векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{c}$, $\vec{b}+\vec{c}$ и $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Векторы, соответствующие четырём диагоналям, можно выразить следующим образом:

• $\vec{d_1} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{0} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{d_2} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$
• $\vec{d_3} = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{d_4} = (\vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Найдём сумму квадратов длин этих диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{d}|^2 = \vec{d} \cdot \vec{d}$.

$|\vec{d_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_2}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_3}|^2 = (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$|\vec{d_4}|^2 = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$

Теперь сложим квадраты длин всех четырёх диагоналей:

$\sum d^2 = |\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 + |\vec{d_3}|^2 + |\vec{d_4}|^2$

При сложении этих четырёх выражений, слагаемые с квадратами модулей дают $4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$.

Рассмотрим слагаемые со скалярными произведениями. Их коэффициенты при сложении дают:

• для $2\vec{a}\cdot\vec{b}$: $1 + 1 - 1 - 1 = 0$
• для $2\vec{a}\cdot\vec{c}$: $1 - 1 + 1 - 1 = 0$
• для $2\vec{b}\cdot\vec{c}$: $1 - 1 - 1 + 1 = 0$

Таким образом, все члены со скалярными произведениями взаимно уничтожаются. В результате сумма квадратов длин диагоналей равна:

$\sum d^2 = 4(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2)$

Сравнивая полученное выражение с суммой квадратов длин рёбер, мы видим, что они равны:

$\sum d^2 = \sum l^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов длин четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин двенадцати его рёбер. Если $d_1, d_2, d_3, d_4$ — длины диагоналей, а $a, b, c$ — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, то справедливо равенство: $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$.