Номер 111, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

111. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.

Для доказательства данного утверждения мы будем использовать неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем произвольную вершину, например, вершину $A$. Из этой вершины выходят три ребра: $AB$, $AD$ и $AA_1$. Обозначим их длины как $a$, $b$ и $c$ соответственно:

$|AB| = a$

$|AD| = b$

$|AA_1| = c$

Диагональю параллелепипеда, выходящей из той же вершины $A$, является отрезок $AC_1$. Нам необходимо доказать, что её длина меньше суммы длин трёх рёбер, то есть: $|AC_1| < a + b + c$.

Доказательство проведём в два шага, последовательно применяя неравенство треугольника.

Шаг 1:

Рассмотрим треугольник $ABC$, который является половиной грани (основания) $ABCD$. По неравенству треугольника для $ \triangle ABC $ имеем:

$|AC| < |AB| + |BC|$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $|BC| = |AD| = b$. Подставим известные длины в неравенство:

$|AC| < a + b$

Шаг 2:

Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Диагональ параллелепипеда $AC_1$ является одной из его сторон. По неравенству треугольника для $ \triangle ACC_1 $ имеем:

$|AC_1| < |AC| + |CC_1|$

Так как $AA_1C_1C$ — параллелограмм (боковая грань), то $|CC_1| = |AA_1| = c$. Подставим это значение в неравенство:

$|AC_1| < |AC| + c$

Заключение:

У нас есть два неравенства:

1) $|AC| < a + b$

2) $|AC_1| < |AC| + c$

Подставим первое неравенство во второе, заменив в нём $|AC|$ на большее значение $a + b$:

$|AC_1| < (a + b) + c$

Таким образом, мы получили, что $|AC_1| < a + b + c$.

Неравенство является строгим, потому что для невырожденного параллелепипеда ребра $AB$ и $BC$ не коллинеарны (не лежат на одной прямой), а значит, треугольник $ABC$ существует. Аналогично, диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$ не коллинеарны, поэтому треугольник $ACC_1$ также существует. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Длина диагонали параллелепипеда действительно меньше суммы длин трёх его рёбер, выходящих из одной вершины.