Номер 104, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD.

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $M$ на ребре $AB$ параллельно прямым $AC$ и $BD$, выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения с гранью ABC.
   Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AC$. Так как точка $M$ лежит в плоскости грани $(ABC)$, а прямая $AC$ также лежит в этой плоскости, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ должна проходить через точку $M$ и быть параллельной прямой $AC$.
   Проведем в плоскости $(ABC)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке, которую мы назовем $N$. Отрезок $MN$ является следом секущей плоскости на грани $ABC$. Таким образом, по построению $MN \parallel AC$.
2. Построение линии пересечения с гранью ABD.
   Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $BD$. Так как точка $M$ лежит в плоскости грани $(ABD)$, а прямая $BD$ также лежит в этой плоскости, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABD)$ должна проходить через точку $M$ и быть параллельной прямой $BD$.
   Проведем в плоскости $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Эта прямая пересечет ребро $AD$ в точке, которую мы назовем $K$. Отрезок $MK$ является следом секущей плоскости на грани $ABD$. Таким образом, по построению $MK \parallel BD$.
3. Построение линии пересечения с гранью ACD.
   Теперь у нас есть точка $K$ на ребре $AD$, которая принадлежит секущей плоскости $\alpha$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, которая лежит в плоскости грани $(ACD)$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ACD)$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной $AC$.
   Проведем в плоскости $(ACD)$ через точку $K$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке, которую мы назовем $P$. Отрезок $KP$ является следом секущей плоскости на грани $ACD$. Таким образом, по построению $KP \parallel AC$.
4. Завершение построения.
   Точки $N$ (на ребре $BC$) и $P$ (на ребре $CD$) принадлежат секущей плоскости. Соединив их, мы получим отрезок $NP$, который является следом секущей плоскости на грани $BCD$.

В результате построен четырехугольник $MNPK$, который и является искомым сечением.

Обоснование и определение вида сечения:

По построению мы имеем $MN \parallel AC$ и $KP \parallel AC$. Из свойства транзитивности параллельности прямых следует, что $MN \parallel KP$.

Также по построению $MK \parallel BD$. Докажем, что и четвертая сторона $NP$ параллельна $BD$.

В треугольнике $ABC$ прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса) имеем: $ \frac{AM}{AB} = \frac{CN}{CB} $.

В треугольнике $ABD$ прямая $MK$ параллельна стороне $BD$, по той же теореме имеем: $ \frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AD} $.

В треугольнике $ACD$ прямая $KP$ параллельна стороне $AC$, по той же теореме имеем: $ \frac{AK}{AD} = \frac{CP}{CD} $.

Из этих трех пропорций следует, что $ \frac{CN}{CB} = \frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AD} = \frac{CP}{CD} $. Следовательно, $ \frac{CN}{CB} = \frac{CP}{CD} $. Для треугольника $BCD$ это соотношение означает, что прямая $NP$ делит стороны $CB$ и $CD$ в одинаковом отношении, считая от общей вершины $C$. По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, отсюда следует, что $NP \parallel BD$.

Итак, в четырехугольнике $MNPK$ противоположные стороны попарно параллельны: $MN \parallel KP$ и $MK \parallel NP$. Следовательно, четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $MNPK$, стороны которого строятся последовательно: $MN \parallel AC$, $MK \parallel BD$, $KP \parallel AC$. Четвертая сторона $NP$ при этом автоматически получается параллельной $BD$.