Номер 97, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

97. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, стороны которых соответственно параллельны. Пусть стороны угла $\angle 1$ лежат на лучах $a$ и $b$, исходящих из вершины $O$, а стороны угла $\angle 2$ — на лучах $a_1$ и $b_1$, исходящих из вершины $O_1$. По условию, луч $a$ параллелен лучу $a_1$, а луч $b$ параллелен лучу $b_1$.

В зависимости от взаимного направления параллельных лучей, возможны следующие случаи.

Случай 1: Углы равны

Равенство углов достигается в двух подслучаях.

а) Стороны углов сонаправлены
Пусть луч $a$ сонаправлен лучу $a_1$, а луч $b$ сонаправлен лучу $b_1$. Продлим одну из сторон угла $\angle 2$, например, луч $a_1$, до пересечения со стороной $b$ угла $\angle 1$ в точке $C$. При этом образуется промежуточный угол $\angle O_1CB$.
Поскольку лучи $a$ и $a_1$ сонаправлены, то прямые, на которых они лежат, параллельны ($a \parallel a_1$). Рассматривая эти параллельные прямые и секущую $b$, мы видим, что углы $\angle 1$ (или $\angle aOb$) и $\angle O_1CB$ являются соответственными. Следовательно, $\angle 1 = \angle O_1CB$.
Аналогично, поскольку лучи $b$ и $b_1$ сонаправлены, то содержащие их прямые параллельны ($b \parallel b_1$). Рассматривая эти параллельные прямые и секущую $a_1$, мы видим, что углы $\angle O_1CB$ и $\angle 2$ (или $\angle a_1O_1b_1$) также являются соответственными. Следовательно, $\angle O_1CB = \angle 2$.
Из полученных равенств $\angle 1 = \angle O_1CB$ и $\angle O_1CB = \angle 2$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$.

б) Обе пары сторон углов противоположно направлены
Пусть луч $a$ направлен противоположно лучу $a_1$, а луч $b$ — противоположно лучу $b_1$. Рассмотрим угол $\angle 3$, вертикальный углу $\angle 2$. По свойству вертикальных углов, $\angle 3 = \angle 2$.
Стороны угла $\angle 3$ будут направлены противоположно соответствующим сторонам угла $\angle 2$. Это означает, что стороны угла $\angle 3$ будут сонаправлены соответствующим сторонам угла $\angle 1$.
Таким образом, для углов $\angle 1$ и $\angle 3$ выполняется условие из пункта (а), а значит, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.
Так как $\angle 3 = \angle 2$, то и $\angle 1 = \angle 2$.

Случай 2: Сумма углов равна 180°

Этот случай имеет место, когда одна пара соответствующих сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.
Пусть, для определенности, луч $a$ сонаправлен лучу $a_1$, а луч $b$ направлен противоположно лучу $b_1$.
Построим из вершины $O_1$ луч $b'$, сонаправленный лучу $b$. Угол $\angle 3$, образованный лучами $a_1$ и $b'$, будет иметь сонаправленные стороны с углом $\angle 1$.
Согласно доказанному в Случае 1(а), $\angle 1 = \angle 3$.
Лучи $b_1$ и $b'$ выходят из одной точки $O_1$ и направлены в противоположные стороны (так как $b_1$ противоположно направлен $b$, а $b'$ сонаправлен $b$). Следовательно, углы $\angle 2$ (образован $a_1$ и $b_1$) и $\angle 3$ (образован $a_1$ и $b'$) являются смежными.
По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.
Заменив в этом равенстве $\angle 3$ на равный ему угол $\angle 1$, получим: $\angle 2 + \angle 1 = 180^\circ$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и доказали, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Два угла с соответственно параллельными сторонами равны, если их стороны либо одновременно сонаправлены, либо одновременно противоположно направлены. Сумма таких углов равна $180^\circ$, если одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.