Страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости α, АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см.

а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке Е.

б) Найдите отрезок BE.

а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость ? в некоторой точке E.

Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны по условию, через них проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат точки $A, B, C$ и $D$.
Фигура $ACDB$ в плоскости $\beta$ является трапецией, так как две ее стороны ($AC$ и $BD$) лежат на параллельных прямых, а две другие стороны ($AB$ и $CD$) являются боковыми сторонами.
Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ не параллельны, так как в противном случае $ACDB$ была бы параллелограммом, и ее противоположные стороны $AC$ и $BD$ были бы равны, что противоречит условию ($AC=8$ см, $BD=6$ см).
Так как прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $E$.
Точка $E$ принадлежит прямой $AB$. По условию задачи, точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $E$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Это означает, что прямая $CD$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Найдите отрезок BE.

Рассмотрим фигуру в плоскости $\beta$. Точка $E$ — это точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ACDB$. Рассмотрим треугольники $\triangle EAC$ и $\triangle EBD$.
1. $\angle E$ — общий для обоих треугольников.
2. Так как $AC \parallel BD$, а прямая $AE$ является секущей, то соответственные углы при параллельных прямых равны: $\angle EAC = \angle EBD$.
Следовательно, треугольники $\triangle EAC$ и $\triangle EBD$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{BE}{AE} = \frac{BD}{AC} $$ По условию задачи имеем: $AC = 8$ см, $BD = 6$ см, $AB = 4$ см.
Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BE$: $AE = AB + BE = 4 + BE$.
Подставим известные значения в уравнение пропорции: $$ \frac{BE}{4 + BE} = \frac{6}{8} $$ Упростим дробь в правой части: $$ \frac{BE}{4 + BE} = \frac{3}{4} $$ Решим полученное уравнение относительно $BE$: $$ 4 \cdot BE = 3 \cdot (4 + BE) $$ $$ 4 \cdot BE = 12 + 3 \cdot BE $$ $$ 4 \cdot BE - 3 \cdot BE = 12 $$ $$ BE = 12 \text{ см} $$ Ответ: 12 см.

89. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и CBD пересекаются соответственно в точках М₁ и М₂. Докажите, что отрезки AD и М₁М₂ параллельны.

Пусть K — середина общего ребра BC для треугольников ABC и CBD. Тогда AK — медиана треугольника ABC, а DK — медиана треугольника CBD.

По условию, M? — точка пересечения медиан треугольника ABC, а M? — точка пересечения медиан треугольника CBD. Точка пересечения медиан также называется центроидом треугольника. Следовательно, точка M? лежит на медиане AK, а точка M? лежит на медиане DK.

По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для треугольника ABC и медианы AK имеем:

$AM_1 : M_1K = 2:1$

Отсюда следует, что $KM_1$ составляет одну треть от всей медианы AK, то есть $\frac{KM_1}{KA} = \frac{1}{3}$.

Аналогично для треугольника CBD и медианы DK имеем:

$DM_2 : M_2K = 2:1$

Отсюда следует, что $\frac{KM_2}{KD} = \frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник ADK. Точки A, D и K образуют треугольник, так как по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Точка M? лежит на стороне AK, а точка M? — на стороне DK этого треугольника.

Мы получили, что $\frac{KM_1}{KA} = \frac{KM_2}{KD} = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим треугольники $KM_1M_2$ и $KAD$. У них общий угол при вершине K (угол $\angle AKD$). Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы показали выше. Следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $KM_1M_2$ подобен треугольнику $KAD$ ($\triangle KM_1M_2 \sim \triangle KAD$).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные углы равны. В частности, $\angle KM_1M_2 = \angle KAD$. Эти углы являются соответственными при прямых $M_1M_2$ и $AD$ и секущей AK. Так как соответственные углы равны, то прямые $M_1M_2$ и $AD$ параллельны.

Таким образом, отрезки $AD$ и $M_1M_2$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

90. Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости α, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости α, если отрезок АВ является:

а) основанием трапеции;

б) боковой стороной трапеции?

а)

По условию, вершины A и B трапеции ABCD лежат в плоскости $\alpha$. Это означает, что вся прямая AB, содержащая отрезок AB, также лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$). Вершины C и D не лежат в этой плоскости, следовательно, прямая CD не лежит в плоскости $\alpha$.

Если отрезок AB является основанием трапеции, то по определению трапеции другое ее основание, CD, параллельно основанию AB. Таким образом, прямая CD параллельна прямой AB ($CD \parallel AB$).

Мы имеем прямую CD, которая не лежит в плоскости $\alpha$, и она параллельна прямой AB, которая лежит в плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Следовательно, прямая CD параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: прямая CD параллельна плоскости $\alpha$.

б)

Если отрезок AB является боковой стороной трапеции, то прямые AB и CD, содержащие боковые стороны, не параллельны (иначе фигура ABCD была бы параллелограммом, а не трапецией). Поскольку все вершины трапеции A, B, C, D лежат в одной плоскости (плоскости трапеции), то прямые AB и CD, лежащие в этой же плоскости и не будучи параллельными, пересекаются в некоторой точке, назовем ее M.

Прямая AB целиком лежит в плоскости $\alpha$, так как две ее точки (A и B) принадлежат этой плоскости. Точка пересечения M принадлежит прямой AB, следовательно, точка M также принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

В то же время, точка M принадлежит и прямой CD, так как является точкой пересечения прямых AB и CD.

Таким образом, прямая CD и плоскость $\alpha$ имеют одну общую точку M. По условию, точки C и D не лежат в плоскости $\alpha$, значит, прямая CD не может лежать в плоскости $\alpha$. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то они пересекаются в этой точке.

Следовательно, прямая CD пересекает плоскость $\alpha$.

Ответ: прямая CD пересекает плоскость $\alpha$.

91. Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и b.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Точка $M$ не лежит в плоскости, определяемой прямыми $a$ и $b$.
Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $M$.
Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$ и точку $M$.

Доказать:

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, параллельной прямым $a$ и $b$.

Доказательство:

1. Так как точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ по условию, то эти две плоскости имеют общую точку. Следовательно, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$, и точка $M$ лежит на прямой $c$ ($M \in c$).

2. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.
Предположим обратное: прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$, а значит, пересекает ее в некоторой точке $K$.
Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка пересечения $K$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($K \in \alpha$).
По нашему предположению, точка $K$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($K \in \beta$).
Следовательно, точка $K$ принадлежит линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть прямой $c$. Но это не помогает доказать параллельность.

Давайте используем другой подход для доказательства, что $a \parallel \beta$.
Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ содержит прямую $b$. По условию $a \parallel b$.
Докажем от противного, что $a$ не пересекает $\beta$.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке $P$.
Поскольку $P \in a$, а $a \subset \alpha$, то $P \in \alpha$.
Так как $P \in \beta$, то точка $P$ принадлежит обеим плоскостям. Значит, она лежит на их линии пересечения $c$.
Теперь рассмотрим плоскость $\gamma$, которую определяют параллельные прямые $a$ и $b$. Точка $M$ не лежит в этой плоскости ($M \notin \gamma$).
Прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$. Если точка $P$ лежит на прямой $a$, то $P$ также лежит в плоскости $\gamma$ ($P \in \gamma$).
Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$ и точку $M$. Так как $b \subset \gamma$ и $M \notin \gamma$, то плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\gamma$ по прямой $b$.
Мы предположили, что $P \in \beta$. Также мы знаем, что $P \in \gamma$. Следовательно, точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$, то есть на прямой $b$.
Итак, мы получили, что точка $P$ принадлежит и прямой $a$, и прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $P$. Но это противоречит условию, что $a \parallel b$.
Следовательно, наше предположение неверно. Прямая $a$ не может пересекать плоскость $\beta$, а значит, $a \parallel \beta$.

3. Теперь мы имеем:
- Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$.
- Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).
- Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$.
По теореме о линии пересечения плоскостей (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой), следует, что $c \parallel a$.

4. По условию задачи $a \parallel b$. Мы доказали, что $c \parallel a$. Из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что $c \parallel b$.

Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, которая параллельна и прямой $a$, и прямой $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Линия пересечения двух данных плоскостей параллельна прямым $a$ и $b$ в соответствии с теоремой о пересечении плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости.

92. Плоскость α и прямая а параллельны прямой b. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней.

Дано:

Плоскость $\alpha$, прямая $a$, прямая $b$.

Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$).

Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказать:

Прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), либо лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Доказательство:

Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Существует три возможных случая:

1. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.
2. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (не имеет с ней общих точек).
3. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ (имеет с ней бесконечно много общих точек).

Нам нужно доказать, что возможны только второй и третий случаи. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что утверждение неверно, и прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Таким образом, $M \in a$ и $M \in \alpha$.

По условию, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Согласно свойству параллельных прямых, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$ и плоскость $\alpha$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно, $M \in \beta$. Также, по нашему предположению, $M \in \alpha$. Значит, точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а следовательно, эти плоскости пересекаются. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $c$, то есть $\alpha \cap \beta = c$.

Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (в обратную сторону). У нас есть плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $b$, параллельную плоскости $\alpha$ (по условию $\alpha \parallel b$), и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $c$. Из этого следует, что прямая пересечения $c$ должна быть параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Итак, мы получили следующие соотношения:

• $a \parallel b$ (по условию).
• $c \parallel b$ (как мы только что доказали).

Из транзитивности параллельности прямых в пространстве следует, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel c$.

Однако мы знаем, что точка $M$ принадлежит прямой $a$ (по предположению) и также принадлежит прямой $c$ (поскольку $M$ — общая точка для $\alpha$ и $\beta$, а $c$ — их линия пересечения). Получается, что через точку $M$ проходят две параллельные прямые $a$ и $c$. Это возможно только в том случае, если эти прямые совпадают, то есть $a = c$.

Но прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Если $a = c$, то и прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Это противоречит нашему исходному предположению о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ только в одной точке. Следовательно, наше предположение было неверным.

Таким образом, случай, когда прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке, невозможен. Остаются только две другие возможности: прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ или прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость $\alpha$ и прямая $a$ параллельны одной и той же прямой $b$, то прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней.

93. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой а проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую b. Каково взаимное расположение прямых MN и b?

Каково взаимное расположение прямых MN и b?

Для решения этой задачи необходимо учесть, что она рассматривается в трехмерном пространстве (в рамках стереометрии). Если бы все объекты находились в одной плоскости (в рамках планиметрии), то условия задачи были бы противоречивы. На плоскости, если прямая $MN$ не пересекает прямую $b$, то она ей параллельна ($MN \parallel b$). Так как по условию $a \parallel b$, то через точку $M$ проходили бы две различные прямые ($a$ и $MN$), параллельные прямой $b$, что невозможно согласно аксиоме о параллельных прямых.

Рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве. Две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

1. Пересечение. По условию, прямая $MN$ не пересекает прямую $b$. Этот вариант исключен.

2. Параллельность. Предположим, что прямые $MN$ и $b$ параллельны ($MN \parallel b$). По условию задачи, прямая $a$ также параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Из теоремы о трех параллельных прямых (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой) следует, что $a \parallel MN$.

Однако по условию прямые $a$ и $MN$ имеют общую точку $M$. Две параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Исключением является случай, когда прямые совпадают, но в условии сказано, что прямая $MN$ отлична от прямой $a$ ($MN \neq a$). Следовательно, мы приходим к противоречию. Это означает, что прямые $MN$ и $b$ не могут быть параллельными.

3. Скрещивание. Поскольку прямые $MN$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, по определению они являются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Ответ: Прямые $MN$ и $b$ являются скрещивающимися.

94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.

Да, данные плоскости пересекаются. Приведем обоснование.

Обозначим данные скрещивающиеся прямые как $a$ и $c$, а данную точку как $B$. По условию, точка $B$ не лежит ни на одной из этих прямых ($B \notin a$ и $B \notin c$).

Рассмотрим первую плоскость, назовем ее $\alpha$. Эта плоскость определяется прямой $a$ и точкой $B$. Согласно фундаментальной теореме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, причем только одну. Так как $B \notin a$, то плоскость $\alpha$ существует и единственна.

Аналогично, рассмотрим вторую плоскость, назовем ее $\beta$. Эта плоскость определяется прямой $c$ и точкой $B$. Так как $B \notin c$, плоскость $\beta$ также существует и единственна.

Теперь необходимо определить взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По построению, точка $B$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Это означает, что у плоскостей есть как минимум одна общая точка.

Две плоскости в пространстве могут либо совпадать, либо быть параллельными, либо пересекаться.

Случай совпадения плоскостей ($\alpha = \beta$) невозможен. Если бы плоскости совпадали, то в этой единой плоскости лежали бы обе прямые $a$ и $c$. Но две прямые, лежащие в одной плоскости, либо пересекаются, либо параллельны. Это противоречит условию, что прямые $a$ и $c$ — скрещивающиеся (скрещивающиеся прямые по определению не лежат в одной плоскости). Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны.

Случай параллельности плоскостей также невозможен, так как мы уже установили, что у них есть общая точка $B$. Параллельные плоскости по определению не имеют общих точек.

Таким образом, остается единственный вариант: плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ: Да, эти плоскости пересекаются.

95. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость α.

Доказательство

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Сформулируем условия задачи и то, что требуется доказать:
Дано: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (что записывается как $a \parallel \alpha$). Плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$ в единственной точке $M$ (то есть $a \cap \beta = \{M\}$).
Доказать: Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$.

Ход доказательства:

1. Предположим обратное тому, что нужно доказать. Допустим, плоскость $\beta$ не пересекает плоскость $\alpha$. В пространстве две различные плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, наше предположение состоит в том, что плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$: $\beta \parallel \alpha$.

2. Теперь рассмотрим следствия из этого предположения в совокупности с исходными данными. Мы имеем:
- $a \parallel \alpha$ (по условию задачи).
- $\beta \parallel \alpha$ (наше предположение).

3. Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если прямая ($a$) параллельна некоторой плоскости ($\alpha$), то она либо лежит в любой другой плоскости ($\beta$), параллельной данной, либо параллельна ей.
Применяя эту теорему к нашей ситуации (где $a \parallel \alpha$ и мы предположили, что $\beta \parallel \alpha$), получаем, что для прямой $a$ и плоскости $\beta$ возможны только два варианта взаимного расположения:
а) прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$);
б) прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

4. Однако по условию задачи плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$. По определению это означает, что прямая $a$ и плоскость $\beta$ имеют ровно одну общую точку $M$.

5. Сравним этот факт с выводами, полученными в пункте 3.
Вариант (а), $a \subset \beta$, означает, что у прямой и плоскости бесконечно много общих точек (вся прямая $a$).
Вариант (б), $a \parallel \beta$, означает, что у прямой и плоскости нет общих точек.
Оба этих варианта противоречат условию задачи о наличии ровно одной общей точки.

6. Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, было неверным.

7. Если две плоскости не параллельны, они должны пересекаться. Таким образом, плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$, то плоскость $\beta$ обязательно пересекает и плоскость $\alpha$.

96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключённые между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей в пространстве.

Дано:

1. Плоскость $\alpha$.

2. Прямая $a$, параллельная плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

3. Две параллельные прямые $b$ и $c$ ($b \parallel c$).

4. Прямые $b$ и $c$ пересекают прямую $a$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

5. Прямые $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно.

Таким образом, мы имеем два отрезка $B_1B_2$ и $C_1C_2$, которые являются отрезками параллельных прямых $b$ и $c$, заключенными между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$.

Доказать:

Длины отрезков $B_1B_2$ и $C_1C_2$ равны, то есть $B_1B_2 = C_1C_2$.

Доказательство:

1. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

2. Все точки $B_1, B_2, C_1, C_2$ лежат в этой плоскости $\beta$.

3. Точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат прямой $a$. Так как эти точки также лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

4. Точки $B_2$ и $C_2$ принадлежат плоскости $\alpha$. Так как эти точки также лежат в плоскости $\beta$, то прямая, проходящая через них (назовем ее $d$), является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

5. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и прямой $d$. У нас есть плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $d$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения $d$ параллельна прямой $a$. То есть $B_2C_2 \parallel B_1C_1$.

6. Рассмотрим четырехугольник $B_1C_1C_2B_2$. Все его вершины лежат в одной плоскости $\beta$. В этом четырехугольнике:

- Стороны $B_1B_2$ и $C_1C_2$ параллельны, так как они лежат на параллельных по условию прямых $b$ и $c$ ($B_1B_2 \parallel C_1C_2$).

- Стороны $B_1C_1$ и $B_2C_2$ параллельны, как мы доказали в пункте 5.

7. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $B_1C_1C_2B_2$ — это параллелограмм.

8. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Значит, $B_1B_2 = C_1C_2$.

Утверждение доказано.

Ответ: Отрезки параллельных прямых ($B_1B_2$ и $C_1C_2$), заключённые между плоскостью ($\alpha$) и параллельной ей прямой ($a$), равны, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма, образованного этими отрезками и отрезками на прямой $a$ и в плоскости $\alpha$.

97. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, стороны которых соответственно параллельны. Пусть стороны угла $\angle 1$ лежат на лучах $a$ и $b$, исходящих из вершины $O$, а стороны угла $\angle 2$ — на лучах $a_1$ и $b_1$, исходящих из вершины $O_1$. По условию, луч $a$ параллелен лучу $a_1$, а луч $b$ параллелен лучу $b_1$.

В зависимости от взаимного направления параллельных лучей, возможны следующие случаи.

Случай 1: Углы равны

Равенство углов достигается в двух подслучаях.

а) Стороны углов сонаправлены
Пусть луч $a$ сонаправлен лучу $a_1$, а луч $b$ сонаправлен лучу $b_1$. Продлим одну из сторон угла $\angle 2$, например, луч $a_1$, до пересечения со стороной $b$ угла $\angle 1$ в точке $C$. При этом образуется промежуточный угол $\angle O_1CB$.
Поскольку лучи $a$ и $a_1$ сонаправлены, то прямые, на которых они лежат, параллельны ($a \parallel a_1$). Рассматривая эти параллельные прямые и секущую $b$, мы видим, что углы $\angle 1$ (или $\angle aOb$) и $\angle O_1CB$ являются соответственными. Следовательно, $\angle 1 = \angle O_1CB$.
Аналогично, поскольку лучи $b$ и $b_1$ сонаправлены, то содержащие их прямые параллельны ($b \parallel b_1$). Рассматривая эти параллельные прямые и секущую $a_1$, мы видим, что углы $\angle O_1CB$ и $\angle 2$ (или $\angle a_1O_1b_1$) также являются соответственными. Следовательно, $\angle O_1CB = \angle 2$.
Из полученных равенств $\angle 1 = \angle O_1CB$ и $\angle O_1CB = \angle 2$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$.

б) Обе пары сторон углов противоположно направлены
Пусть луч $a$ направлен противоположно лучу $a_1$, а луч $b$ — противоположно лучу $b_1$. Рассмотрим угол $\angle 3$, вертикальный углу $\angle 2$. По свойству вертикальных углов, $\angle 3 = \angle 2$.
Стороны угла $\angle 3$ будут направлены противоположно соответствующим сторонам угла $\angle 2$. Это означает, что стороны угла $\angle 3$ будут сонаправлены соответствующим сторонам угла $\angle 1$.
Таким образом, для углов $\angle 1$ и $\angle 3$ выполняется условие из пункта (а), а значит, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.
Так как $\angle 3 = \angle 2$, то и $\angle 1 = \angle 2$.

Случай 2: Сумма углов равна 180°

Этот случай имеет место, когда одна пара соответствующих сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.
Пусть, для определенности, луч $a$ сонаправлен лучу $a_1$, а луч $b$ направлен противоположно лучу $b_1$.
Построим из вершины $O_1$ луч $b'$, сонаправленный лучу $b$. Угол $\angle 3$, образованный лучами $a_1$ и $b'$, будет иметь сонаправленные стороны с углом $\angle 1$.
Согласно доказанному в Случае 1(а), $\angle 1 = \angle 3$.
Лучи $b_1$ и $b'$ выходят из одной точки $O_1$ и направлены в противоположные стороны (так как $b_1$ противоположно направлен $b$, а $b'$ сонаправлен $b$). Следовательно, углы $\angle 2$ (образован $a_1$ и $b_1$) и $\angle 3$ (образован $a_1$ и $b'$) являются смежными.
По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.
Заменив в этом равенстве $\angle 3$ на равный ему угол $\angle 1$, получим: $\angle 2 + \angle 1 = 180^\circ$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и доказали, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Два угла с соответственно параллельными сторонами равны, если их стороны либо одновременно сонаправлены, либо одновременно противоположно направлены. Сумма таких углов равна $180^\circ$, если одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.

98. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Существует ли плоскость, проходящая через прямую a и параллельная плоскости ??

Да, такая плоскость существует.

Обоснование: Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что у них нет общих точек. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Так как $a \parallel \alpha$, то точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной, через точку, не лежащую в этой плоскости (в нашем случае это точка $M$ и плоскость $\alpha$), проходит единственная плоскость, параллельная данной. Назовем эту плоскость $\beta$. Таким образом, мы имеем плоскость $\beta$, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$).

Теперь необходимо доказать, что вся прямая $a$ лежит в этой плоскости $\beta$. Предположим обратное: прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$. Поскольку точка $M$ является общей для прямой $a$ и плоскости $\beta$, то в этом случае прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в единственной точке $M$.

Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую. В нашем случае, так как $\beta \parallel \alpha$ и прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$, то из этого следует, что прямая $a$ должна пересекать и плоскость $\alpha$.

Однако это противоречит исходному условию задачи, согласно которому прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и прямая $a$ должна целиком лежать в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Таким образом, мы доказали, что искомая плоскость существует.

Ответ: Да, существует.

Сколько таких плоскостей?

Такая плоскость только одна.

Обоснование: Докажем единственность такой плоскости методом от противного. Предположим, что существуют две различные плоскости, $\beta_1$ и $\beta_2$, каждая из которых проходит через прямую $a$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Поскольку прямая $a$ по нашему предположению лежит в обеих плоскостях, точка $M$ также принадлежит им обеим, то есть $M \in \beta_1$ и $M \in \beta_2$.

Таким образом, мы получаем, что через одну и ту же точку $M$ (которая не лежит в плоскости $\alpha$) проходят две различные плоскости ($\beta_1$ и $\beta_2$), параллельные одной и той же плоскости $\alpha$.

Это прямо противоречит теореме о единственности плоскости, проходящей через данную точку пространства параллельно данной плоскости. Согласно этой теореме, такая плоскость может быть только одна.

Следовательно, наше допущение о существовании двух различных плоскостей, удовлетворяющих условию, является неверным.

Ответ: Существует только одна такая плоскость.

99. Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Это утверждение является обобщением теоремы Фалеса для пространства.

Дано:

Пусть даны три параллельные плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ ($\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$). Пусть две произвольные прямые $a$ и $b$ пересекают эти плоскости. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ в точках $A_1, A_2, A_3$ соответственно. Прямая $b$ пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно.

Требуется доказать:

Отношение отрезков, отсекаемых на прямой $a$, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой $b$: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

Доказательство:

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямых $a$ и $b$.

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то они определяют единственную плоскость, назовем ее $\delta$. Эта плоскость $\delta$ пересекает три параллельные плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по трем параллельным прямым. Пусть $l_1 = \delta \cap \alpha$, $l_2 = \delta \cap \beta$, $l_3 = \delta \cap \gamma$. Таким образом, $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$. В плоскости $\delta$ мы имеем две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересечены тремя параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3$. По теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки. Следовательно, для прямых $a$ и $b$ выполняется равенство: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

2. Прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не лежат в одной плоскости. Для доказательства используем метод вспомогательной прямой. Через точку $A_1$ на прямой $a$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$). Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $A_1$ и, следовательно, задают плоскость, назовем ее $\delta$. Прямая $b'$ пересекает плоскости $\beta$ и $\gamma$ в некоторых точках $C_2$ и $C_3$ соответственно. Теперь в плоскости $\delta$ лежат две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$, которые пересечены тремя параллельными плоскостями $\alpha, \beta, \gamma$. Как и в первом случае, применяем теорему Фалеса для прямых $a$ и $b'$: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{A_1C_2}{C_2C_3} \quad (1) $$ Теперь рассмотрим плоскость $\epsilon$, заданную параллельными прямыми $b$ и $b'$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по параллельным прямым $A_1B_1, C_2B_2, C_3B_3$. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2C_2$. Его противоположные стороны $A_1C_2$ и $B_1B_2$ параллельны по построению ($b' \parallel b$). Стороны $A_1B_1$ и $C_2B_2$ параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью $\epsilon$. Следовательно, $A_1B_1B_2C_2$ — параллелограмм, а значит $A_1C_2 = B_1B_2$. Аналогично, четырехугольник $C_2B_2B_3C_3$ является параллелограммом, откуда следует, что $C_2C_3 = B_2B_3$. Подставим полученные равенства длин отрезков в соотношение (1): $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

3. Прямые $a$ и $b$ параллельны.

Если $a \parallel b$, то они лежат в одной плоскости $\delta$. Эта плоскость пересекает плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ по параллельным прямым $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2B_1$. В нем $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ (т.к. $a \parallel b$) и $A_1B_1 \parallel A_2B_2$ (линии пересечения параллельных плоскостей). Значит, $A_1A_2B_2B_1$ — параллелограмм, и $A_1A_2 = B_1B_2$. Аналогично, $A_2A_3B_3B_2$ — параллелограмм, и $A_2A_3 = B_2B_3$. Из этих равенств очевидно следует пропорция: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

Таким образом, утверждение справедливо для любого взаимного расположения двух прямых в пространстве. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три параллельные плоскости отсекают на любых двух прямых, пересекающих эти плоскости, пропорциональные отрезки.

100. Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

Для решения задачи докажем два утверждения: существование такой плоскости и ее единственность.

Доказательство существования

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые $l$ и $m$, и точка $A$.

Через точку $A$ проведём прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Также через точку $A$ проведём прямую $m'$, параллельную прямой $m$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такие прямые существуют и единственны.

Поскольку исходные прямые $l$ и $m$ скрещиваются, они не параллельны. Следовательно, построенные прямые $l'$ и $m'$ также не параллельны. Так как они обе проходят через точку $A$, они являются пересекающимися прямыми.

Две пересекающиеся прямые ($l'$ и $m'$) однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\pi$. По построению, плоскость $\pi$ проходит через точку $A$.

Теперь покажем, что плоскость $\pi$ удовлетворяет условию задачи.Плоскость $\pi$ содержит прямую $l'$. Так как $l' \parallel l$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость $\pi$ параллельна прямой $l$ (или содержит её).Аналогично, плоскость $\pi$ содержит прямую $m'$. Так как $m' \parallel m$, то плоскость $\pi$ параллельна прямой $m$ (или содержит её).

Рассмотрим все возможные случаи расположения точки $A$:

1. Точка $A$ не принадлежит ни прямой $l$, ни прямой $m$ ($A \notin l$ и $A \notin m$). В этом случае построенные прямые $l'$ и $m'$ не совпадают с $l$ и $m$. Плоскость $\pi$ не содержит ни одну из прямых $l$ и $m$. Следовательно, плоскость $\pi$ параллельна обеим данным прямым $l$ и $m$.
2. Точка $A$ принадлежит прямой $l$ ($A \in l$). Тогда прямая $l'$, проходящая через $A$ и параллельная $l$, совпадает с самой прямой $l$ ($l' \equiv l$). Поскольку $l$ и $m$ скрещиваются, точка $A$ не может принадлежать прямой $m$ ($A \notin m$). Плоскость $\pi$ в этом случае определяется пересекающимися прямыми $l$ и $m'$. Таким образом, плоскость $\pi$ проходит через прямую $l$ и параллельна прямой $m$.
3. Точка $A$ принадлежит прямой $m$ ($A \in m$). Аналогично предыдущему случаю, плоскость $\pi$ будет проходить через прямую $m$ и будет параллельна прямой $l$.

Во всех случаях построенная плоскость $\pi$ проходит через точку $A$ и либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой. Существование доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая плоскость $\sigma$, которая также проходит через точку $A$ и удовлетворяет условию задачи. Это означает, что для плоскости $\sigma$ выполняется одно из трех условий:

• $\sigma \parallel l$ и $\sigma \parallel m$;
• $\sigma$ содержит $l$ и $\sigma \parallel m$;
• $\sigma$ содержит $m$ и $\sigma \parallel l$.

В любом из этих трех случаев плоскость $\sigma$ параллельна как прямой $l$, так и прямой $m$. (Плоскость, содержащая прямую, является частным случаем параллельности, когда расстояние между ними равно нулю). Это означает, что направляющие векторы прямых $l$ и $m$ параллельны плоскости $\sigma$.

Вспомним плоскость $\pi$, построенную в доказательстве существования. Она была задана прямыми $l' \parallel l$ и $m' \parallel m$. Следовательно, плоскость $\pi$ также параллельна прямым $l$ и $m$.

Таким образом, обе плоскости, $\pi$ и $\sigma$, параллельны двум одним и тем же непараллельным прямым ($l$ и $m$). Это означает, что плоскости $\pi$ и $\sigma$ параллельны друг другу.

При этом нам известно, что обе плоскости проходят через одну и ту же точку $A$. Если две параллельные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они совпадают.

Следовательно, $\sigma \equiv \pi$. Это доказывает, что искомая плоскость единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через точку $A$ проходит одна и только одна плоскость, удовлетворяющая заданным условиям.