Страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

66. Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) рёбер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар рёбер имеет тетраэдр?

Скрещивающиеся рёбра — это рёбра, которые принадлежат скрещивающимся прямым, то есть не пересекаются и не параллельны. В случае тетраэдра $ABCD$, два ребра являются скрещивающимися, если они не имеют общих вершин.

Тетраэдр $ABCD$ имеет 4 вершины (A, B, C, D) и 6 рёбер, соединяющих эти вершины: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$.

Для нахождения всех пар скрещивающихся рёбер будем последовательно рассматривать рёбра и находить для них пары, не имеющие общих вершин.

1. Возьмём ребро $AB$. Оно соединяет вершины A и B. Единственное ребро, которое не содержит ни вершину A, ни вершину B, — это ребро $CD$. Следовательно, первая пара скрещивающихся рёбер — это $AB$ и $CD$.

2. Возьмём ребро $AC$. Оно соединяет вершины A и C. Единственное ребро, которое не содержит ни вершину A, ни вершину C, — это ребро $BD$. Вторая пара скрещивающихся рёбер — это $AC$ и $BD$.

3. Возьмём ребро $AD$. Оно соединяет вершины A и D. Единственное ребро, которое не содержит ни вершину A, ни вершину D, — это ребро $BC$. Третья пара скрещивающихся рёбер — это $AD$ и $BC$.

Мы перебрали все рёбра, выходящие из вершины A, и нашли для них скрещивающиеся пары. Все 6 рёбер тетраэдра вошли в эти три пары. Таким образом, мы нашли все возможные пары.

Итак, у тетраэдра есть ровно три пары скрещивающихся рёбер.

Ответ: Пары скрещивающихся рёбер тетраэдра $ABCD$: ($AB$, $CD$); ($AC$, $BD$); ($AD$, $BC$). Всего таких пар 3.

67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) рёбра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

а) рёбра основания ABC данного тетраэдра

Основанием тетраэдра DABC является треугольник ABC. Его рёбра (стороны) AB, BC и AC находятся как третья сторона в каждой из трёх боковых граней: $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ соответственно. Для нахождения длин этих рёбер воспользуемся теоремой косинусов и теоремой Пифагора.

Найдём длину ребра AB из $\triangle ADB$:
По теореме косинусов для $\triangle ADB$ с известными сторонами $DA = 20$ см, $BD = 18$ см и углом между ними $\angle ADB = 54^\circ$:
$AB^2 = DA^2 + BD^2 - 2 \cdot DA \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$
$AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^\circ)$
$AB^2 = 400 + 324 - 720\cos(54^\circ) = 724 - 720\cos(54^\circ)$
$AB = \sqrt{724 - 720\cos(54^\circ)} \approx \sqrt{724 - 720 \cdot 0.5878} \approx \sqrt{300.784} \approx 17.34$ см.

Найдём длину ребра BC из $\triangle BDC$:
По теореме косинусов для $\triangle BDC$ с известными сторонами $BD = 18$ см, $DC = 21$ см и углом между ними $\angle BDC = 72^\circ$:
$BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 \cdot BD \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC)$
$BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^\circ)$
$BC^2 = 324 + 441 - 756\cos(72^\circ) = 765 - 756\cos(72^\circ)$
$BC = \sqrt{765 - 756\cos(72^\circ)} \approx \sqrt{765 - 756 \cdot 0.3090} \approx \sqrt{531.406} \approx 23.05$ см.

Найдём длину ребра AC из $\triangle CDA$:
Поскольку $\angle CDA = 90^\circ$, $\triangle CDA$ является прямоугольным с катетами $DA = 20$ см и $DC = 21$ см. По теореме Пифагора:
$AC^2 = DA^2 + DC^2$
$AC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$
$AC = \sqrt{841} = 29$ см.

Ответ: Длины рёбер основания равны $AB \approx 17.34$ см, $BC \approx 23.05$ см, $AC = 29$ см.

б) площади всех боковых граней

Боковыми гранями тетраэдра являются треугольники ADB, BDC и CDA. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь грани ADB ($S_{ADB}$):
$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB \cdot \sin(\angle ADB)$
$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(54^\circ) = 180\sin(54^\circ)$
$S_{ADB} \approx 180 \cdot 0.8090 \approx 145.62$ см$^2$.

Площадь грани BDC ($S_{BDC}$):
$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC)$
$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 21 \cdot \sin(72^\circ) = 189\sin(72^\circ)$
$S_{BDC} \approx 189 \cdot 0.9511 \approx 179.76$ см$^2$.

Площадь грани CDA ($S_{CDA}$):
Так как $\triangle CDA$ — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{CDA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DC$
$S_{CDA} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210$ см$^2$.

Ответ: Площади боковых граней равны $S_{ADB} \approx 145.62$ см$^2$, $S_{BDC} \approx 179.76$ см$^2$, $S_{CDA} = 210$ см$^2$.

68. Точки М и N — середины рёбер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию задачи, точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$ и $AC$ соответственно.

Рассмотрим грань тетраэдра, представляющую собой треугольник $ABC$. В этом треугольнике отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон — $AB$ и $AC$.

По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Следовательно, $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. В данном случае, третья сторона — это $BC$. Таким образом, мы можем утверждать, что прямая $MN$ параллельна прямой $BC$. Математически это записывается как $MN \parallel BC$.

Теперь рассмотрим плоскость $BCD$. Прямая $BC$ является ребром тетраэдра и, следовательно, целиком лежит в плоскости $BCD$. То есть, $BC \subset \text{плоскости } BCD$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае выполнены все условия этого признака:
1. Прямая $MN$ не лежит в плоскости $BCD$ (так как вершина $A$ не принадлежит этой плоскости, а точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах, выходящих из $A$).
2. Прямая $MN$ параллельна прямой $BC$ ($MN \parallel BC$).
3. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD$ ($BC \subset \text{плоскости } BCD$).

Следовательно, на основании признака параллельности прямой и плоскости, можно сделать вывод, что прямая $MN$ параллельна плоскости $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии $MN \parallel BC$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD$, а прямая $MN$ ей параллельна, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $MN$ параллельна плоскости $BCD$.

69. Через середины рёбер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Пусть дан тетраэдр $SABC$. Обозначим середину ребра $AB$ как точку $M$, а середину ребра $BC$ как точку $N$. Через точки $M$ и $N$ проведена секущая плоскость, назовем ее $\alpha$, которая по условию параллельна ребру $SB$. Требуется доказать, что линии пересечения этой плоскости с гранями $SAB$ и $SBC$ параллельны.

1. Рассмотрим пересечение секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$. Грань $SAB$ является плоскостью. Точка $M$, как середина ребра $AB$, принадлежит этой грани. По построению, точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $(SAB)$ пересекаются, и точка $M$ лежит на их линии пересечения.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$, а прямая $SB$ лежит в плоскости $(SAB)$. Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если плоскость ($\alpha$) пересекает другую плоскость ($(SAB)$) и при этом параллельна некоторой прямой ($SB$), лежащей во второй плоскости, то линия пересечения плоскостей будет параллельна этой прямой.

Обозначим линию пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SAB$ как $l_1$. Согласно теореме, прямая $l_1$ параллельна прямой $SB$. Таким образом, мы установили, что $l_1 \parallel SB$.

2. Аналогично рассмотрим пересечение секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$. Грань $SBC$ также является плоскостью. Точка $N$, как середина ребра $BC$, принадлежит этой грани. По построению, точка $N$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Значит, плоскости $\alpha$ и $(SBC)$ пересекаются, и точка $N$ лежит на их линии пересечения.

Обозначим линию пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SBC$ как $l_2$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$, а прямая $SB$ лежит в плоскости $(SBC)$, то, применяя ту же самую теорему, мы заключаем, что линия их пересечения $l_2$ параллельна прямой $SB$. Таким образом, мы установили, что $l_2 \parallel SB$.

3. В результате мы получили, что линия пересечения $l_1$ плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$ параллельна ребру $SB$, и линия пересечения $l_2$ плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$ также параллельна ребру $SB$.

Поскольку обе прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны одной и той же прямой $SB$, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, они параллельны и друг другу. То есть, $l_1 \parallel l_2$.

Таким образом, доказано, что секущая плоскость пересекает грани $SAB$ и $SBC$ по параллельным прямым.

Ответ: Утверждение доказано.

70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Пусть в тетраэдре $ABCD$ точки $K, L$ и $M$ являются серединами рёбер $AB, AC$ и $AD$ соответственно. Плоскость, проходящая через эти три точки, обозначим как плоскость $(KLM)$. Нам необходимо доказать, что плоскость $(KLM)$ параллельна плоскости $(BCD)$.

Для доказательства воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим грань тетраэдра — треугольник $ABC$. Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ по условию. Следовательно, отрезок $KL$ — это средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Для нашего доказательства важен факт параллельности: $KL \parallel BC$

2. Аналогично рассмотрим грань тетраэдра — треугольник $ACD$. Точки $L$ и $M$ являются серединами сторон $AC$ и $AD$ по условию. Следовательно, отрезок $LM$ — это средняя линия треугольника $ACD$. По свойству средней линии: $LM \parallel CD$

3. Теперь мы имеем две прямые $KL$ и $LM$, лежащие в плоскости $(KLM)$, которые пересекаются в точке $L$. Эти прямые соответственно параллельны прямым $BC$ и $CD$, которые лежат в плоскости $(BCD)$ и пересекаются в точке $C$.

Таким образом, все условия признака параллельности двух плоскостей выполнены:

• Прямая $KL$ лежит в плоскости $(KLM)$, прямая $BC$ лежит в плоскости $(BCD)$, и $KL \parallel BC$.
• Прямая $LM$ лежит в плоскости $(KLM)$, прямая $CD$ лежит в плоскости $(BCD)$, и $LM \parallel CD$.
• Прямые $KL$ и $LM$ пересекаются в точке $L$.
• Прямые $BC$ и $CD$ пересекаются в точке $C$.

Из этого следует, что плоскость $(KLM)$ параллельна плоскости $(BCD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

71. Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и K. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.

Сначала построим тетраэдр DABC. Для этого нарисуем треугольник ABC в основании и выберем точку D вне плоскости этого треугольника, соединив ее с вершинами A, B и C. Затем на ребрах DB, DC и BC отметим соответственно точки M, N и K, как показано на схематическом рисунке ниже.

а) прямой MN и плоскости ABC

Для построения точки пересечения прямой и плоскости мы воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Суть метода заключается в том, чтобы найти прямую, по которой пересекаются вспомогательная плоскость (содержащая нашу прямую) и данная плоскость. Искомая точка пересечения будет лежать на этой прямой.

1. Прямая MN принадлежит плоскости грани DBC, так как обе точки, M и N, лежат на ребрах этой грани ($M \in DB$, $N \in DC$). Следовательно, вся прямая MN лежит в плоскости (DBC): $MN \subset (DBC)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости (DBC) и плоскости основания (ABC). Эти две плоскости имеют две общие точки B и C, следовательно, они пересекаются по прямой BC: $(DBC) \cap (ABC) = BC$.
3. Поскольку прямая MN лежит в плоскости (DBC), ее точка пересечения с плоскостью (ABC) должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой BC.
4. Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, MN и BC, лежащих в одной плоскости (DBC). Для этого продлим отрезки MN и BC до их пересечения. Обозначим полученную точку как P.
5. Точка P принадлежит прямой MN по построению. Точка P также принадлежит прямой BC, а так как прямая BC лежит в плоскости (ABC), то точка P принадлежит и плоскости (ABC). Следовательно, точка P и есть искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка P является точкой пересечения прямых MN и BC ($P = MN \cap BC$).

б) прямой KN и плоскости ABD

Для решения этого пункта используем аналогичный подход.

1. Прямая KN принадлежит плоскости грани DBC, так как точки K и N лежат на ребрах этой грани ($K \in BC$, $N \in DC$). Следовательно, вся прямая KN лежит в плоскости (DBC): $KN \subset (DBC)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости (DBC) и плоскости (ABD). Эти плоскости имеют две общие точки D и B, значит, они пересекаются по прямой DB: $(DBC) \cap (ABD) = DB$.
3. Так как прямая KN лежит в плоскости (DBC), ее точка пересечения с плоскостью (ABD) должна находиться на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой DB.
4. Задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, KN и DB, которые лежат в одной плоскости (DBC). Для этого продлим отрезок KN и прямую DB до их пересечения. Обозначим эту точку как Q.
5. Точка Q принадлежит прямой KN по построению. Точка Q также принадлежит прямой DB, а так как прямая DB лежит в плоскости (ABD), то точка Q принадлежит и плоскости (ABD). Следовательно, Q — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка Q является точкой пересечения прямых KN и DB ($Q = KN \cap DB$).

72. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD.

а)

Дано: тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $AD$.

Задача: Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости грани $ABC$.

Построение и решение:

1. Изобразим тетраэдр $DABC$ и отметим на ребре $AD$ точку $M$ так, что $AM = MD$.

2. Секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна плоскости $(ABC)$. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости ($ \alpha $ и $(ABC)$) пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

3. Рассмотрим грань $ABD$. Плоскость этой грани $(ABD)$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $AB$. Так как $ \alpha || (ABC) $, то плоскость $\alpha$ будет пересекать плоскость $(ABD)$ по прямой, параллельной $AB$. Поскольку точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $(ABD)$, эта прямая проходит через точку $M$. Проведём в плоскости $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребро $DB$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ является одной из сторон искомого сечения. В треугольнике $ABD$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$, а точка $M$ является серединой стороны $AD$. По теореме Фалеса, точка $N$ является серединой стороны $DB$. Таким образом, $MN$ — средняя линия треугольника $ABD$.

4. Аналогично рассмотрим грань $ACD$. Плоскость $(ACD)$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AC$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(ACD)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $AC$. Проведём в плоскости $(ACD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AC$. Она пересечет ребро $DC$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ — вторая сторона сечения. В треугольнике $ACD$, $MP$ является средней линией, а точка $P$ — серединой ребра $DC$.

5. Мы получили три точки сечения: $M$, $N$ и $P$. Соединив их, получаем треугольник $MNP$. Этот треугольник и есть искомое сечение. Его плоскость $(MNP)$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $(ABC)$, так как две пересекающиеся прямые ($MN$ и $MP$) в плоскости $(MNP)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AC$) в плоскости $(ABC)$. Сторона $NP$ сечения лежит в грани $DBC$ и, являясь средней линией треугольника $DBC$, параллельна стороне $BC$, что подтверждает параллельность плоскостей.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где точки $M$, $N$, $P$ являются серединами ребер $AD$, $DB$ и $DC$ соответственно.

б)

Дано: тетраэдр $DABC$, точка $M$ лежит внутри грани $ABD$.

Задача: Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости грани $ABC$.

Построение и решение:

1. Изобразим тетраэдр $DABC$ и отметим произвольную точку $M$ внутри грани $ABD$.

2. Секущая плоскость $\alpha$ должна быть параллельна плоскости $(ABC)$. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$.

3. Так как точка $M$ принадлежит плоскости грани $(ABD)$, то линия пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABD)$ должна проходить через точку $M$. Согласно свойству параллельных плоскостей, эта линия пересечения должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $(ABD)$ и $(ABC)$, то есть прямой $AB$. Проведем в плоскости $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребра $AD$ и $DB$ в точках, которые мы обозначим $M_1$ и $M_2$ соответственно. Отрезок $M_1M_2$ — это след секущей плоскости на грани $ABD$ и одна из сторон искомого сечения.

4. Точка $M_1$ лежит на ребре $AD$, а значит, и в плоскости грани $(ACD)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ACD)$ должна проходить через точку $M_1$ и быть параллельной линии пересечения плоскостей $(ACD)$ и $(ABC)$, то есть прямой $AC$. Проведем в плоскости $(ACD)$ через точку $M_1$ прямую, параллельную $AC$. Она пересечет ребро $DC$ в точке, которую мы обозначим $M_3$. Отрезок $M_1M_3$ — вторая сторона сечения.

5. Мы получили три точки сечения: $M_1$, $M_2$ и $M_3$. Соединив их, получаем треугольник $M_1M_2M_3$, который является искомым сечением. Его плоскость проходит через точку $M$ (так как $M \in M_1M_2$) и параллельна плоскости $(ABC)$ (так как $M_1M_2 || AB$ и $M_1M_3 || AC$). Третья сторона сечения $M_2M_3$ лежит в грани $DBC$ и будет автоматически параллельна ребру $BC$ по обобщенной теореме Фалеса для пространственного угла с вершиной $D$, так как $ \frac{DM_1}{DA} = \frac{DM_2}{DB} $ и $ \frac{DM_1}{DA} = \frac{DM_3}{DC} $, откуда следует $ \frac{DM_2}{DB} = \frac{DM_3}{DC} $, что и доказывает параллельность $M_2M_3$ и $BC$.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $M_1M_2M_3$, где $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения прямой, проведенной в плоскости $(ABD)$ через $M$ параллельно $AB$, с ребрами $AD$ и $DB$ соответственно, а $M_3$ — точка пересечения прямой, проведенной в плоскости $(ACD)$ через $M_1$ параллельно $AC$, с ребром $DC$.

73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами рёбер АВ, ВС и CD, АС = 10 см, ВD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырёхугольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию задачи, точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами рёбер $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Обозначим точку $K$ как середину ребра $AD$.

1. Рассмотрим грань $ABC$ тетраэдра. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен третьей стороне $AC$ и равен её половине:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим грань $ADC$ тетраэдра. В треугольнике $ADC$ отрезок $KP$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок $KP$ параллелен третьей стороне $AC$ и равен её половине:
$KP \parallel AC$ и $KP = \frac{1}{2}AC$.

3. Из результатов пунктов 1 и 2 мы имеем, что $MN \parallel AC$ и $KP \parallel AC$. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $MN \parallel KP$.

4. Две параллельные прямые ($MN$ и $KP$) однозначно задают плоскость. Это означает, что все четыре точки $M, N, P, K$ лежат в одной плоскости.

Так как точки $M, N, P$ по определению задают плоскость $MNP$, а точка $K$ лежит в той же самой плоскости, то плоскость $MNP$ проходит через точку $K$, которая является серединой ребра $AD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD.

найдите периметр четырёхугольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP

Из предыдущего доказательства следует, что сечением тетраэдра плоскостью $MNP$ является четырёхугольник $MNPK$. Периметр этого четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: $P_{MNPK} = MN + NP + PK + KM$.

1. Длины сторон $MN$ и $PK$. Как мы установили ранее, $MN$ и $PK$ являются средними линиями треугольников $ABC$ и $ADC$ соответственно, и их длина равна половине длины ребра $AC$.
По условию $AC = 10$ см, следовательно:
$MN = PK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

2. Длина стороны $NP$. В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Таким образом, $NP$ является средней линией треугольника $BCD$, и её длина равна половине длины ребра $BD$.
По условию $BD = 12$ см, следовательно:
$NP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

3. Длина стороны $KM$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Таким образом, $KM$ является средней линией треугольника $ABD$, и её длина равна половине длины ребра $BD$.
По условию $BD = 12$ см, следовательно:
$KM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

4. Теперь можно вычислить периметр четырёхугольника $MNPK$.
$P_{MNPK} = MN + NP + PK + KM = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} + 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 22$ см.
(Заметим, что $MN \parallel PK$ и $KM \parallel NP$, так как обе эти стороны параллельны $BD$. Следовательно, сечение $MNPK$ является параллелограммом).

Ответ: 22 см.

74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC.

а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

a) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC.

Пусть M – точка пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD. Эта точка является центроидом треугольника BCD. Обозначим секущую плоскость через $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку M и параллельна плоскости грани ABC.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости (ABC), она будет пересекать ребра тетраэдра AD, BD и CD, выходящие из вершины D. Обозначим точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами AD, BD и CD как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

Фигура, образованная в сечении, является треугольником $A_1B_1C_1$. Докажем это и его подобие треугольнику ABC.

1. Рассмотрим плоскость грани (ABD). Она пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и (ABC). По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Линия пересечения плоскости (ABD) с плоскостью (ABC) – это прямая AB. Линия пересечения плоскости (ABD) с плоскостью $\alpha$ – это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

2. Аналогично, рассмотрим плоскость грани (ACD). Линия ее пересечения с плоскостью (ABC) – это прямая AC, а с плоскостью $\alpha$ – прямая $A_1C_1$. Следовательно, $A_1C_1 \parallel AC$.

3. Рассмотрим плоскость грани (BCD). Линия ее пересечения с плоскостью (ABC) – это прямая BC, а с плоскостью $\alpha$ – прямая $B_1C_1$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel BC$.

Итак, сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ есть треугольник $A_1B_1C_1$.

Теперь докажем, что $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$, треугольники $\triangle DA_1B_1$ и $\triangle DAB$ подобны по двум углам (угол при вершине D общий, $\angle DA_1B_1 = \angle DAB$ как соответственные). Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Поскольку $A_1C_1 \parallel AC$, треугольники $\triangle DA_1C_1$ и $\triangle DAC$ подобны. Из их подобия следует:

$\frac{DA_1}{DA} = \frac{DC_1}{DC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Объединяя эти два соотношения, получаем:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{DA_1}{DA}$

Также, так как $B_1C_1 \parallel BC$, треугольники $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ подобны. Из их подобия следует:

$\frac{DB_1}{DB} = \frac{DC_1}{DC} = \frac{B_1C_1}{BC}$

Из всех полученных соотношений следует, что стороны треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}$

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам), $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сечение тетраэдра данной плоскостью является треугольником, подобным треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$.

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2$

Из пункта а) мы знаем, что коэффициент подобия $k = \frac{DA_1}{DA}$. Найдем его значение.

Пусть DK – медиана треугольника BCD, проведенная из вершины D к стороне BC (K – середина BC). Точка M, как центроид треугольника BCD, лежит на медиане DK и делит ее в отношении $DM:MK = 2:1$, считая от вершины D. Отсюда следует, что:

$\frac{DM}{DK} = \frac{DM}{DM+MK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку M и пересекает плоскость (BCD) по прямой $B_1C_1$, которая параллельна BC. Так как M лежит в обеих плоскостях ($\alpha$ и (BCD)), точка M принадлежит прямой $B_1C_1$.

Рассмотрим треугольник DBC. В нем проведена медиана DK и отрезок $B_1C_1$, параллельный стороне BC, причем точка M лежит на $B_1C_1$ и DK. Треугольники $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ подобны, так как $B_1C_1 \parallel BC$.

При этом подобии отрезок DM является частью медианы DK, и отношение их длин равно коэффициенту подобия этих треугольников. Таким образом, коэффициент подобия $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ равен $\frac{DM}{DK}$.

Из подобия $\triangle DB_1C_1 \sim \triangle DBC$ следует:

$\frac{DB_1}{DB} = \frac{DM}{DK} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к подобию треугольников $\triangle DA_1B_1$ и $\triangle DAB$ (из пункта а)). Их коэффициент подобия равен:

$k = \frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}$

Подставляя найденное значение, получаем, что коэффициент подобия треугольников $A_1B_1C_1$ и ABC равен:

$k = \frac{2}{3}$

Теперь можем найти отношение их площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

Ответ: 4/9.

75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МK, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см².

а)

Для построения сечения тетраэдра KLMN плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN, необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину ребра MN и обозначить ее точкой A.
2. Поскольку секущая плоскость проходит через ребро KL, то точки K и L уже принадлежат этой плоскости.
3. Плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой. В нашем случае это точки K, L и A.
4. Соединим эти точки отрезками, чтобы построить фигуру сечения. Отрезок KL уже является ребром тетраэдра. Соединим точку K с точкой A. Полученный отрезок KA лежит в плоскости грани KMN. Соединим точку L с точкой A. Полученный отрезок LA лежит в плоскости грани LMN.
В результате получаем треугольник KLA, который и является искомым сечением тетраэдра.

Ответ: Сечением является треугольник KLA.

б)

Сначала докажем, что плоскость, проходящая через точки E, O и F (плоскость EOF), параллельна плоскости LKA.
Рассмотрим треугольник LMA. По условию, E — середина отрезка LM, а O — середина отрезка MA. Следовательно, EO является средней линией треугольника LMA. По теореме о средней линии треугольника, прямая EO параллельна прямой LA ($EO \parallel LA$) и равна ее половине ($EO = \frac{1}{2} LA$).
Теперь рассмотрим треугольник MKA. По условию, O — середина отрезка MA, а F — середина отрезка MK. Следовательно, OF является средней линией треугольника MKA. По теореме о средней линии, прямая OF параллельна прямой KA ($OF \parallel KA$) и равна ее половине ($OF = \frac{1}{2} KA$).
Мы имеем две пересекающиеся прямые EO и OF в плоскости (EOF), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым LA и KA в плоскости (LKA). Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Таким образом, плоскость (EOF) параллельна плоскости (LKA).

Теперь найдем площадь треугольника EOF.
Из доказательства выше мы знаем, что $EO \parallel LA$ и $OF \parallel KA$.
Рассмотрим треугольник LMK. E — середина LM, а F — середина MK. Значит, EF является средней линией этого треугольника, и, следовательно, $EF \parallel LK$.
Поскольку стороны треугольника EOF соответственно параллельны сторонам треугольника LKA, эти треугольники подобны ($\triangle EOF \sim \triangle LKA$).
Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Из свойства средней линии мы установили, что:
$k = \frac{EO}{LA} = \frac{OF}{KA} = \frac{EF}{LK} = \frac{1}{2}$
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:
$\frac{S_{EOF}}{S_{LKA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
По условию, площадь треугольника LKA равна $S_{LKA} = 24 \text{ см}^2$. Используя это значение, найдем площадь треугольника EOF:
$S_{EOF} = S_{LKA} \cdot \frac{1}{4} = 24 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{4} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.