Номер 70, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 70, страница 31.

70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Пусть в тетраэдре $ABCD$ точки $K, L$ и $M$ являются серединами рёбер $AB, AC$ и $AD$ соответственно. Плоскость, проходящая через эти три точки, обозначим как плоскость $(KLM)$. Нам необходимо доказать, что плоскость $(KLM)$ параллельна плоскости $(BCD)$.

Для доказательства воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим грань тетраэдра — треугольник $ABC$. Точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ по условию. Следовательно, отрезок $KL$ — это средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Для нашего доказательства важен факт параллельности: $KL \parallel BC$

2. Аналогично рассмотрим грань тетраэдра — треугольник $ACD$. Точки $L$ и $M$ являются серединами сторон $AC$ и $AD$ по условию. Следовательно, отрезок $LM$ — это средняя линия треугольника $ACD$. По свойству средней линии: $LM \parallel CD$

3. Теперь мы имеем две прямые $KL$ и $LM$, лежащие в плоскости $(KLM)$, которые пересекаются в точке $L$. Эти прямые соответственно параллельны прямым $BC$ и $CD$, которые лежат в плоскости $(BCD)$ и пересекаются в точке $C$.

Таким образом, все условия признака параллельности двух плоскостей выполнены:

• Прямая $KL$ лежит в плоскости $(KLM)$, прямая $BC$ лежит в плоскости $(BCD)$, и $KL \parallel BC$.
• Прямая $LM$ лежит в плоскости $(KLM)$, прямая $CD$ лежит в плоскости $(BCD)$, и $LM \parallel CD$.
• Прямые $KL$ и $LM$ пересекаются в точке $L$.
• Прямые $BC$ и $CD$ пересекаются в точке $C$.

Из этого следует, что плоскость $(KLM)$ параллельна плоскости $(BCD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.