Номер 63, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

63. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂ = 2А₁А = 12 см, АВ₁ = 5 см;

б) А₂В₂ и АА₂, если A₁B₁ = 18 см, AA₁ = 24 см, AA₂ = 32А₁А₂.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны и пересекают стороны угла BAC, то по обобщенной теореме Фалеса они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Кроме того, линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью угла BAC, то есть прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$, параллельны между собой.

Это означает, что треугольник $\triangle AA_1B_1$ подобен треугольнику $\triangle AA_2B_2$ (по двум углам: угол A - общий, $\angle AA_1B_1 = \angle AA_2B_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} $$

а)

Дано: $A_1A_2 = 12$ см, $A_1A_2 = 2AA_1$, $AB_1 = 5$ см. (В условии, скорее всего, опечатка, и должно быть $A_1A_2 = 2AA_1$, так как точка $A_1$ лежит между A и $A_2$)

1. Найдем длину отрезка $AA_1$.
Из условия $A_1A_2 = 2AA_1$ и $A_1A_2 = 12$ см, получаем:
$12 = 2 \cdot AA_1$
$AA_1 = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Найдем длину отрезка $AA_2$.
Точки A, A?, A? лежат на одной прямой, причем A? находится между A и A?. Следовательно:
$AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 6 + 12 = 18$ см.

3. Найдем длину отрезка $AB_2$.
Используем пропорцию из подобия треугольников:
$$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2} $$ Подставим известные значения:
$$ \frac{6}{18} = \frac{5}{AB_2} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{5}{AB_2} $$ Отсюда находим $AB_2$:
$AB_2 = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: $AA_2 = 18$ см, $AB_2 = 15$ см.

б)

Дано: $A_1B_1 = 18$ см, $AA_1 = 24$ см, $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$.

1. Найдем длину отрезка $AA_2$.
Точки A, A?, A? лежат на одной прямой, поэтому $AA_2 = AA_1 + A_1A_2$. Подставим в это равенство данное условие $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$:
$AA_1 + A_1A_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$
$AA_1 = \frac{3}{2}A_1A_2 - A_1A_2$
$AA_1 = (\frac{3}{2} - 1)A_1A_2$
$AA_1 = \frac{1}{2}A_1A_2$
Мы знаем, что $AA_1 = 24$ см, значит:
$24 = \frac{1}{2}A_1A_2$
$A_1A_2 = 24 \cdot 2 = 48$ см.
Теперь найдем $AA_2$:
$AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 24 + 48 = 72$ см.

2. Найдем длину отрезка $A_2B_2$.
Используем пропорцию из подобия треугольников:
$$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} $$ Подставим известные значения:
$$ \frac{24}{72} = \frac{18}{A_2B_2} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{18}{A_2B_2} $$ Отсюда находим $A_2B_2$:
$A_2B_2 = 18 \cdot 3 = 54$ см.

Ответ: $A_2B_2 = 54$ см, $AA_2 = 72$ см.