Номер 68, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 68, страница 31.

68. Точки М и N — середины рёбер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию задачи, точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$ и $AC$ соответственно.

Рассмотрим грань тетраэдра, представляющую собой треугольник $ABC$. В этом треугольнике отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон — $AB$ и $AC$.

По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Следовательно, $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. В данном случае, третья сторона — это $BC$. Таким образом, мы можем утверждать, что прямая $MN$ параллельна прямой $BC$. Математически это записывается как $MN \parallel BC$.

Теперь рассмотрим плоскость $BCD$. Прямая $BC$ является ребром тетраэдра и, следовательно, целиком лежит в плоскости $BCD$. То есть, $BC \subset \text{плоскости } BCD$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае выполнены все условия этого признака:
1. Прямая $MN$ не лежит в плоскости $BCD$ (так как вершина $A$ не принадлежит этой плоскости, а точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах, выходящих из $A$).
2. Прямая $MN$ параллельна прямой $BC$ ($MN \parallel BC$).
3. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD$ ($BC \subset \text{плоскости } BCD$).

Следовательно, на основании признака параллельности прямой и плоскости, можно сделать вывод, что прямая $MN$ параллельна плоскости $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии $MN \parallel BC$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD$, а прямая $MN$ ей параллельна, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $MN$ параллельна плоскости $BCD$.