Номер 72, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

72. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD.

а)

Дано: тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $AD$.

Задача: Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости грани $ABC$.

Построение и решение:

1. Изобразим тетраэдр $DABC$ и отметим на ребре $AD$ точку $M$ так, что $AM = MD$.

2. Секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна плоскости $(ABC)$. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости ($ \alpha $ и $(ABC)$) пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

3. Рассмотрим грань $ABD$. Плоскость этой грани $(ABD)$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $AB$. Так как $ \alpha || (ABC) $, то плоскость $\alpha$ будет пересекать плоскость $(ABD)$ по прямой, параллельной $AB$. Поскольку точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $(ABD)$, эта прямая проходит через точку $M$. Проведём в плоскости $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребро $DB$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ является одной из сторон искомого сечения. В треугольнике $ABD$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$, а точка $M$ является серединой стороны $AD$. По теореме Фалеса, точка $N$ является серединой стороны $DB$. Таким образом, $MN$ — средняя линия треугольника $ABD$.

4. Аналогично рассмотрим грань $ACD$. Плоскость $(ACD)$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AC$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $(ACD)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $AC$. Проведём в плоскости $(ACD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AC$. Она пересечет ребро $DC$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ — вторая сторона сечения. В треугольнике $ACD$, $MP$ является средней линией, а точка $P$ — серединой ребра $DC$.

5. Мы получили три точки сечения: $M$, $N$ и $P$. Соединив их, получаем треугольник $MNP$. Этот треугольник и есть искомое сечение. Его плоскость $(MNP)$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $(ABC)$, так как две пересекающиеся прямые ($MN$ и $MP$) в плоскости $(MNP)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AC$) в плоскости $(ABC)$. Сторона $NP$ сечения лежит в грани $DBC$ и, являясь средней линией треугольника $DBC$, параллельна стороне $BC$, что подтверждает параллельность плоскостей.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где точки $M$, $N$, $P$ являются серединами ребер $AD$, $DB$ и $DC$ соответственно.

б)

Дано: тетраэдр $DABC$, точка $M$ лежит внутри грани $ABD$.

Задача: Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости грани $ABC$.

Построение и решение:

1. Изобразим тетраэдр $DABC$ и отметим произвольную точку $M$ внутри грани $ABD$.

2. Секущая плоскость $\alpha$ должна быть параллельна плоскости $(ABC)$. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$.

3. Так как точка $M$ принадлежит плоскости грани $(ABD)$, то линия пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABD)$ должна проходить через точку $M$. Согласно свойству параллельных плоскостей, эта линия пересечения должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $(ABD)$ и $(ABC)$, то есть прямой $AB$. Проведем в плоскости $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечет ребра $AD$ и $DB$ в точках, которые мы обозначим $M_1$ и $M_2$ соответственно. Отрезок $M_1M_2$ — это след секущей плоскости на грани $ABD$ и одна из сторон искомого сечения.

4. Точка $M_1$ лежит на ребре $AD$, а значит, и в плоскости грани $(ACD)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ACD)$ должна проходить через точку $M_1$ и быть параллельной линии пересечения плоскостей $(ACD)$ и $(ABC)$, то есть прямой $AC$. Проведем в плоскости $(ACD)$ через точку $M_1$ прямую, параллельную $AC$. Она пересечет ребро $DC$ в точке, которую мы обозначим $M_3$. Отрезок $M_1M_3$ — вторая сторона сечения.

5. Мы получили три точки сечения: $M_1$, $M_2$ и $M_3$. Соединив их, получаем треугольник $M_1M_2M_3$, который является искомым сечением. Его плоскость проходит через точку $M$ (так как $M \in M_1M_2$) и параллельна плоскости $(ABC)$ (так как $M_1M_2 || AB$ и $M_1M_3 || AC$). Третья сторона сечения $M_2M_3$ лежит в грани $DBC$ и будет автоматически параллельна ребру $BC$ по обобщенной теореме Фалеса для пространственного угла с вершиной $D$, так как $ \frac{DM_1}{DA} = \frac{DM_2}{DB} $ и $ \frac{DM_1}{DA} = \frac{DM_3}{DC} $, откуда следует $ \frac{DM_2}{DB} = \frac{DM_3}{DC} $, что и доказывает параллельность $M_2M_3$ и $BC$.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $M_1M_2M_3$, где $M_1$ и $M_2$ — точки пересечения прямой, проведенной в плоскости $(ABD)$ через $M$ параллельно $AB$, с ребрами $AD$ и $DB$ соответственно, а $M_3$ — точка пересечения прямой, проведенной в плоскости $(ACD)$ через $M_1$ параллельно $AC$, с ребром $DC$.