Номер 71, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

71. Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и K. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.

Сначала построим тетраэдр DABC. Для этого нарисуем треугольник ABC в основании и выберем точку D вне плоскости этого треугольника, соединив ее с вершинами A, B и C. Затем на ребрах DB, DC и BC отметим соответственно точки M, N и K, как показано на схематическом рисунке ниже.

а) прямой MN и плоскости ABC

Для построения точки пересечения прямой и плоскости мы воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Суть метода заключается в том, чтобы найти прямую, по которой пересекаются вспомогательная плоскость (содержащая нашу прямую) и данная плоскость. Искомая точка пересечения будет лежать на этой прямой.

1. Прямая MN принадлежит плоскости грани DBC, так как обе точки, M и N, лежат на ребрах этой грани ($M \in DB$, $N \in DC$). Следовательно, вся прямая MN лежит в плоскости (DBC): $MN \subset (DBC)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости (DBC) и плоскости основания (ABC). Эти две плоскости имеют две общие точки B и C, следовательно, они пересекаются по прямой BC: $(DBC) \cap (ABC) = BC$.
3. Поскольку прямая MN лежит в плоскости (DBC), ее точка пересечения с плоскостью (ABC) должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой BC.
4. Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, MN и BC, лежащих в одной плоскости (DBC). Для этого продлим отрезки MN и BC до их пересечения. Обозначим полученную точку как P.
5. Точка P принадлежит прямой MN по построению. Точка P также принадлежит прямой BC, а так как прямая BC лежит в плоскости (ABC), то точка P принадлежит и плоскости (ABC). Следовательно, точка P и есть искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка P является точкой пересечения прямых MN и BC ($P = MN \cap BC$).

б) прямой KN и плоскости ABD

Для решения этого пункта используем аналогичный подход.

1. Прямая KN принадлежит плоскости грани DBC, так как точки K и N лежат на ребрах этой грани ($K \in BC$, $N \in DC$). Следовательно, вся прямая KN лежит в плоскости (DBC): $KN \subset (DBC)$.
2. Найдем линию пересечения плоскости (DBC) и плоскости (ABD). Эти плоскости имеют две общие точки D и B, значит, они пересекаются по прямой DB: $(DBC) \cap (ABD) = DB$.
3. Так как прямая KN лежит в плоскости (DBC), ее точка пересечения с плоскостью (ABD) должна находиться на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой DB.
4. Задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, KN и DB, которые лежат в одной плоскости (DBC). Для этого продлим отрезок KN и прямую DB до их пересечения. Обозначим эту точку как Q.
5. Точка Q принадлежит прямой KN по построению. Точка Q также принадлежит прямой DB, а так как прямая DB лежит в плоскости (ABD), то точка Q принадлежит и плоскости (ABD). Следовательно, Q — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка Q является точкой пересечения прямых KN и DB ($Q = KN \cap DB$).